Презентация на тему "6 Момент инерции, Теорема Штейнера"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Вес телаи сила тяжести

  m F g M F цб Весом теланазывается сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения. В условиях Земли – вследствие притяжения к Земле. Вес тела не надо путать с силой тяжестиP = mg, гдеg - одинаковое для всех тел вблизи вращающейся(т.е. во вращающейся системе отсчета)поверхности Землиускорение, называемое ускорением свободного падения. Pхотя и обусловлена притяжением тел к Земле но результат двух сил и не равна силе гравитационного притяжения тела Fgиз-за действия Fцб.

• 
  Слайд 2

  Различие силы тяжести и веса

  m F g M F цб На любое тело, находящееся на поверхности Земли (кроме полюса) действует центробежная сила инерции Fцб , что и приводит к некоторому различию силы тяжести Pи силы гравитационного притяжения Fg как по величине, так и по направлению. Те во вращающейся системе отсчета складываем два вектора P=mg=Fg+Fцб ׀Fцб׀=mωЗ2RЗcos  Результирующая сила направлена не к центру Земли.Максимальное различие получается на экваторе и составляет 0,3% от силы P. На экваторе на тело массой 1 кг действует Fцб=0.0337Н=1/291 mgh. Т.е. в ряде случаев ей можно пренебречь.Угол между направлениями векторов Pи Fgтакже очень мал и его max значение равно 0,0018 рад (на широте 45 градусов).

• 
  Слайд 3

  Момент инерции МТ относительно оси вращения

  Величина угловой скорости При вращении по окружности момент импульса МТ Lотносительно точки О: и направления векторов L и несовпадают если точка О не в центре окружности. Если движение идет по окружностии точка О’ в центре окружности то по направления векторов L’ и совпадают. Изменение угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения Скалярная величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. L L’ O’

• 
  Слайд 4

  Уравнение моментов для материальной точки

  Как уже говорилось момент импульса МТ, двигающейся по окружности: Производная по времени равна: В соответствии с законом изменения момента импульса для МТ получаем:

• 
  Слайд 5

  Абсолютно твердое тело

  Под твердым телом будем подразумевать абсолютно твердое тело, в котором расстояния между любыми двумя точками неизменны. Твердое тело можно представить как совокупность большого количества очень малых масс , которые можно считать МТ.Теорема о движении центра масс твердого тела: центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, и к которой приложены все внешние силы, действующие на тело. Т.е. раньше мы говорили о МТ и о систем МТ и ее центре масс теперь еще и об абсолютно твердом теле.

• 
  Слайд 6

  Момент инерции твердого тела

  Твердое тело можно представить как систему МТ, удерживаемых внутренними силами на неизменных расстояниях друг от друга и по аналогии с МТ записать: Пусть момент импульса i-й частицы , ri — радиус окружности, по которой движется МТ относительно оси вращения тела. Направление Li относительно оси вращения всех точек тела одинаковое, так как в каждый момент времени направление и величина угловых скоростей всех точек одинаковы (тело твердое). Величина называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Направление векторов Lи  совпадают только в случае симметричного тела.

• 
  Слайд 7

  Уравнением моментов

  Заменив в выражении для кинетической энергии массу на момент инерции I, а скорость v на угловую скорость  получим кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси телаили просто подставив v=R: Подставим момент импульса тела Это закон изменения момента импульса твердого тела или основной закон динамики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Как и в случае с МТ можно сопоставить все величины для поступательного и вращательного движения. Скамья Жуковского Т=const

• 
  Слайд 8

  Фигуристка на льду и Торнадо: Что общего?

  Сохранение кинетической энергии? Приблизительно ! Торнадо – увеличивается масса того, что поднято с Земли - увеличивается момент инерции и увеличивается кинетическая энергия. Как зависит I от радиуса торандо ? Узнаем чуть позже ~ R2 Куда расходуется кинетическая энергия? Вспомним машины, цунами, лавины…..

• 
  Слайд 9

  Условия равновесия твердого тела

  В общем случае для равновесия абсолютно твердого тела необходимо выполнение двух условий. Сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю: Сумма моментов внешних сил относительно любой точки должна быть равна нулю:

• 
  Слайд 10

  Момент инерции в природе

  Самолеты убирают шасси во время полета, а, например, пчелы, напротив, вытягивают вперед задние лапки для того, чтобы лететь устойчиво с большей скоростью. При максимальной скорости в 7.25 метров в секунду пчелы теряют вращательную устойчивость. Это говорит о том, что скорость пчелы ограничивает не сила мускулов или амплитуда машущих крыльев, а наклон тела и умение балансировать в неустойчивом положении. Т.е. определенной скорости пчелы умеют управлять своим моментом инерции и изменять моментом импульса так чтобы обеспечить условия равновесия (нулевую сумму моментов внешних сил).

• 
  Слайд 11
  

  Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси

  Все выражения для МТ и для твердого тела внешне очень похожи. 2-го закон Ньютона: Аналогами также являются: координата х - угол , линейной скорости v- угловая скорость  , линейного ускорения a- угловое ускорение, массы m- момент инерции I, силы F- момент силы N, импульса р- момент импульса L, кинетическая энергия mv2/2 - кинетическая энергия I2/2, работаdA=Fsds - работа dA=Nd мощность P=Fvv - P=N

• 
  Слайд 12

  Момент инерции полого цилиндра

  Найдем момент инерции полого цилиндра относительно его оси симметрии ОО. где m — масса цилиндра. Итак, момент инерции полого цилиндра прямо не зависит от высоты этого цилиндра (косвенно естественно зависит так как чем больше высота тем больше площадь и масса). Точно также выглядит и выражение для момента инерции обруча.

• 
  Слайд 13

  Момент инерции сложных тел

  Для полного определения момента инерции более сложных тел выражение следует уточнить, устремив элемент к нулю и найдя соответствующий предел: Как известно, такой предел называется интегралом: Интегрирование производится по всему объему тела V. Если плотность тела постоянна, то  можно вынести из под знака интегрирования.Но даже для яйца (желток, белок и скорлупа имеют разную плотность)! Земля?

• 
  Слайд 14

  Момент инерции сплошного цилиндра и однородного шара

  Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии ООможно найти разбив его на цилиндры радиуса r и толщиной dr. Так как объем одного слоя равен dV=2πrhdr то - плотность, dr и h –толщинаи высота цилиндра . А у полого цилиндра было mR2.Чем удаленнее масса от центра тем больше I. При равных m и R у полого момент инерции I в 2 раза большеОпыт с двумя скатывающимися цилиндрами. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

• 
  Слайд 15

  Теорема Штейнера

  Зная момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно произвольной оси вычисляют по теореме Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d. Вспомним опыт с гантелями на скамье Жуковского

• 
  Слайд 16

  Демонстрации на момент инерции

  Гироскопы не путать с гороскопами Волчки Прошу принести на следующую лекцию два куриных яйца. Одно сырое другое сваренное вкрутую. Лучше кто живет в общежитии .