Презентация на тему "Физика «Гармонические колебания»"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

  1. Виды и признаки колебаний 2. Параметры гармонических колебаний 3. Графики смещения скорости и ускорения 4. Основное уравнение динамики гармонических колебаний 5. Энергия гармонических колебаний 6. Гармонический осциллятор pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Виды и признаки колебаний

  В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека. Так, механические колебания плотности воздуха воспринимаются нами как звук, а быстрые электромагнитные колебания – как свет. С помощью звука и света мы получаем основную часть информации об окружающем нас мире. Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д. Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости во времени.

• 
  Слайд 3
  

  Три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно; ограниченность пределами крайних положений; действие силы, описываемой функцией

• 
  Слайд 4

  ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

  Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются, так называемые, гармонические колебания. Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, ), совершает гармонические колебания.

• 
  Слайд 5
  

  Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

• 
  Слайд 6

  ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

  Периодический процесс можно описать уравнением: . По определению, колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид или Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи, А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.

• 
  Слайд 7

  ПАРАМЕТРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

  Для изучения колебательного движения нам придется ввести несколько терминов – параметров колебательного движения. Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается, буквой A.

• 
  Слайд 8
  

  Выражение, являющееся аргументом синуса или косинуса в формуле , определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. При t=0 φ = φ0 , поэтому называется начальной фазой колебания. Фаза измеряется в радианах и определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Т.к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до , то -1,то х может принимать значения от +А до –А.

• 
  Слайд 9
  

  Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку называется полным колебанием. Частотаколебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, как правило, измеряют в герцах (Гц): 1 Гц равен числу полных колебаний в одну секунду. Очевидно, что

• 
  Слайд 10
  

  Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. Заметим, что фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t.

• 
  Слайд 11
  

  Колебания характеризуются не только смещением, но и скоростью и ускорением . Если смещение описывается уравнением то, по определению

• 
  Слайд 12

  Графики смещения скорости и ускорения

  Уравнения колебаний запишем в следующем виде: Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

• 
  Слайд 13

  Графики смещения скорости и ускорения

  Скорость колебаний тела максимальна и, по абсолютной величине, равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия . При максимальном смещении скорость равна нулю; Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях. Ускорение всегда направленно к положению равновесия, поэтому, удаляясь от положения равновесия, тело двигается замедленно, приближаясь к нему – ускоренно. Ускорение всегда прямо пропорционально смещению, а его направление противоположно направлению смещения. Все эти выводы могут служить определением гармонического колебания.

• 
  Слайд 14
  

  Графики смещения, скорости и ускорения гармонических колебаний:

• 
  Слайд 15

  Основное уравнение динамики гармоническихколебаний

  Второй закон Ньютона позволяет, в общем виде, записать связь между силой и ускорением, при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки (или тела) с массой m. Отсюда следует, что сила Fпропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

• 
  Слайд 16
  

  Примером сил удовлетворяющих этому уравнению являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие этому уравнению называются квазиупругими. Квазиупругая сила Подставляя Fxв основное уравнение получаем:

• 
  Слайд 17
  

  В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х, проекция ускорения на эту ось Подставив выражения для aх и Fхво второй закон Ньютона, получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими или квазиупругими силами: или

• 
  Слайд 18
  

  Решение этого уравнения всегда будет выражение вида т.е. смещение груза под действием упругой или квазиупругой силы является гармоническим колебанием, происходящим по синусоидальному закону.

• 
  Слайд 19

  Энергия гармонических колебаний

  Вычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой ω. Потенциальная энергия телаU, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила ,перемещая тело в положение равновесия.

• 
  Слайд 20
  

  Или Кинетическая энергия Тогда

• 
  Слайд 21
  

  Или Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания. В случае свободных незатухающих колебаний полная энергия не зависит от времени, поэтому и амплитуда А – не зависит от времени.

• 
  Слайд 22
  
• 
  Слайд 23

  Гармонические осцилляторы

  Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники, а также колебательный контур (для малых токов и напряжений).

• 
  Слайд 24
  

  Пружинный маятник или Математический маятник( только для малых колебаний )

• 
  Слайд 25
  

  Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С

• 
  Слайд 26
  

  При отклонении этого тела от положения равновесия на угол α, также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия: где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника С. Обозначим через J – момент инерции маятника относительно точки подвеса O.

• 
  Слайд 27
  

  Тогда В случае малых колебаний Величину момента инерции J иногда бывает трудно вычислить.

• 
  Слайд 28
  

  Сопоставляя формулы для периода колебаний физического и математического маятников, можно обозначить: где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

• 
  Слайд 29

  ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛНА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

  1. Свободные затухающие механические колебания 2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 3. Вынужденные механические колебания 4. Автоколебания

• 
  Слайд 30

  Затухающие колебания

  Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например, маятник).

• 
  Слайд 31
  

  Тогда сила трения (или сопротивления) Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x Или Введем обозначения

• 
  Слайд 32

  Затухающие колебания

  Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка запишется так: Решение этого уравнения имеет вид при А0 и φ0 – определяются из краевых условий (начальных и граничных) задачи. β и ω – из самого уравнения.

• 
  Слайд 33
  

  Найдем ω. Здесь оно уже не равно . Подставим решение дифференциального уравнения в само дифференциальное уравнение продифференцировав решение один и два раза по времени. Тогда имеем: или где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний.

• 
  Слайд 34
  

  Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и называется условным периодом затухающих колебаний.

• 
  Слайд 35

  Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания

  Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и

• 
  Слайд 36
  

  Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания. Выясним физический смысл χиβ. Обозначим через τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. откуда

• 
  Слайд 37
  

  Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, τ– время релаксации. Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e – раз. Тогда

• 
  Слайд 38
  

  Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечению которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если χ =0,01 то N =100. При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , то процесс будет апериодическим .

• 
  Слайд 39
  
• 
  Слайд 40

  Вынужденные механические колебания

  Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная периодическаясила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем основное уравнение колебательного процесса, или где fх = Fх/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

• 
  Слайд 41
  

  Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы, ω. Уравнение установившихся вынужденных колебаний Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.

• 
  Слайд 42
  

  Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость. Преобразуем и через косинус:

• 
  Слайд 43
  

  Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой. Подставим все эти выражения в дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний и получаем в итоге: или

• 
  Слайд 44
  

  Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды: амплитуда ускорения, амплитуда скорости, амплитуда смещения, амплитуда вынуждающей силы, причем

• 
  Слайд 45
  

  Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:

• 
  Слайд 46
  

  Из рисунка видно, что Найдем амплитуду А: Таким образом, и .

• 
  Слайд 47
  

  При постоянных F0,m и β – амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0. Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения:

• 
  Слайд 48
  

  Из рисунка видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения: Проанализируем выражение для амплитуды. (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда Статическая амплитуда, колебания не совершаются.

• 
  Слайд 49
  

  2. Затухания нет С увеличением ω (но при ), амплитуда растет и при , амплитуда резко возрастает ( ). Это явление называется – резонанс. При дальнейшем увеличении ( ) амплитуда опять уменьшается.

• 
  Слайд 50
  

  Если амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения и приравняем ее к нулю. Тогда резонансная частота будет определяться выражением:

• 
  Слайд 51

  ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

  1. Квазистационарные токи 2. Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления 3. Свободные затухающие электрические колебания 4. Вынужденные электрические колебания 5. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

• 
  Слайд 52

  Квазистационарные токи

  При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися во времени. Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, были установлены для постоянного тока. Однако, они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные сигналы распространяются по цепи со скоростью света с.

• 
  Слайд 53
  

  Пусть l– длина электрической цепи. Тогда время распространения сигнала в данной цепи Если (T – период колебаний электрического тока), то такие токи называются квазистационарными. При этом условии мгновенное значение силы тока во всех участках цепи будет постоянным. Для частоты условие квазистационарности выполняется при длине цепи ~ 100 км.

• 
  Слайд 54
  

  Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления

  В цепи, содержащей индуктивность L и ёмкость С могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром

• 
  Слайд 55
  

  Поскольку активное сопротивление контура , полная энергия остаётся постоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна и наоборот. Рассмотрим процессы, происходящие в колебательном контуре в сравнении с колебаниями маятника .

• 
  Слайд 56
  
• 
  Слайд 57
  

  Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что, энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии; L играет роль массы т, а 1/С – роль коэффициента жесткости k. Наконец заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия х, силе тока I – скорость υ, а напряжению U – ускорение а.

• 
  Слайд 58
  

  Эта аналогия сохраняется и в математических уравнениях. В соответствии с законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии), можно записать

• 
  Слайд 59
  

  Введем обозначение: – собственная частота контура, отсюда получим основное уравнение колебаний в контуре: Решением этого уравнения является выражение вида:

• 
  Слайд 60
  

  Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с собственной частотой контура – ω0. Для периода колебаний справедлива, так называемая формула Томсона:

• 
  Слайд 61
  

  Продифференцируем по времени выражение для заряда и получим выражение для тока: Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С:

• 
  Слайд 62
  

  Максимальные значения

• 
  Слайд 63

  Свободные затухающие электрические колебания

  Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

• 
  Слайд 64
  

  По второму закону Кирхгофа Обозначив – коэффициент затухания; получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R,L и С:

• 
  Слайд 65
  

  При т.е. , решение этого уравнения имеет вид: Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

• 
  Слайд 66
  

  Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная χ: Добротность определяется и по другому: где W– энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом. , ,

• 
  Слайд 67
  

  При т.е. при происходит апериодический разряд Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением .

• 
  Слайд 68

  Вынужденные электрические колебания. Резонанс

  К контуру, изображенному на рисунке подадим переменное напряжение U

• 
  Слайд 69
  

  Это уравнениевынужденных электрических колебаний, которое совпадает с аналогичным уравнением механических колебаний. Его решение имеет вид: Величина называется полным сопротивлением контура

• 
  Слайд 70
  

  При последовательном соединении R, L, С, в контуре когда – наблюдается резонанс. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль (φ = 0). Резонансная частота при напряжении на конденсаторе Uс равна

• 
  Слайд 71
  

  Тогда , а Uс и UL одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом. Резонансные кривые для напряжения U изображены на рисунке. Они сходны с резонансными кривыми для ускорения aпри механических колебаниях.

• 
  Слайд 72
  
• 
  Слайд 73
  

  В цепях переменного тока, содержащих параллельно включенные ёмкость и индуктивность, наблюдается другой тип резонанса.

• 
  Слайд 74
  
• 
  Слайд 75