Презентация на тему "Случайные величины: законы распределения"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Случайные величины: законы распределения

• 
  Слайд 2

  Что было: понятие о случайной величине

  СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x F (x) = P (X

• 
  Слайд 3

  Что было: функция распределения

  Интегральная функция распределения P(X≤x)=F(x) и ее свойства: 1) 0≤F(x)≤1; 2)F(-∞)=0; 3)F(+∞)=1; 4)для x2>x1 всегда F2>F1; Кумулятивная функция дискретного распределения Интегральная функция распределения

• 
  Слайд 4
  

  Дифференциальная функция вероятности: существует только для непрерывных случайных величин! lim∆x->0 ∆F/∆x=F'(x)=f(x) - плотность вероятности И наоборот: -∞∫х f(x) dx=F(x) Свойства: 1) f(x)≥0 2) ∫f(x)dx=1 Интеграл как площадь Функция плотности вероятности

• 
  Слайд 5

  Характеристики функции распределения

  Дискретная случайная величина Математическое ожидание: М[x]= Дисперсия D[x]= Мода(значение с наибольшей вероятностью) Мо=Xi | p(xi)=pmax Медиана Непрерывная случайная величина Математическое ожидание: M[X]= Дисперсия D[X]= Мода(значение с наибольшей плотностью вероятности) Мо=xi | f(xi)=max Медиана

• 
  Слайд 6
  

  Знаем: какие бывают случайные величины; чтотакое интегральная (кумулятивная) функция распределения и распределение плотности вероятности; вероятность попадания Х на отрезок (а,b); как описать распределение F(x). Не знаем, какие бывают F(x)

• 
  Слайд 7
  

  Законы распределения случайных величин

• 
  Слайд 8

  Равномерное распределение №1

  Непрерывнаяслучайная величина имеет равномерный закон распределения на (а,b), если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его. Функция P(Xb Математическое ожидание:M[x]=(a+b)/2 Дисперсия: D[x]=(b-a)2/12 График интегральной функции распределения График плотности вероятности

• 
  Слайд 9

  Равномерное распределение №2

  Дискретная случайная величина имеет равномерное распределение, если ее функция вероятности на всей области определения (a,b) имеет вид P(x)=1/n, где n — число исходов M[x]=(a+b)/2 - мат.ожидание D[x]=(n2-1)/12 - дисперсия График кумулятивной функции График характеристической функции

• 
  Слайд 10

  Биномиальное распределение

  Характеристическая функция, P(x) Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она имеет значения {0...n}, а вероятность Х=m P(X=m)= Биномиальное распределение описывает вероятность m успехов при n возможных исходов M[X]=n*p - мат. ожидание D[X]=n*p*q - дисперсия, где p - вероятность успеха, q - вероятность неуспеха Кумулятивная функция, F(X

• 
  Слайд 11

  Степенной закон распределения

  Случайная величина имеет степенной закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: f(x)=Cx-α , при α=[2,3] Свойства: ассиметричное распределение с «тяжелым» хвостом прямая линия на log-log шкале; Вид графика не зависит от масштаба (scale invariance) Принцип Парето: 80/20 M.E.J. Newman. Power laws, Pareto distribution and Zipf's law/ arXiv:cond-mat/0412004

• 
  Слайд 12

  Нормальное распределение

  Центральная предельная теорема в применении к Ψ: Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения

• 
  Слайд 13

  Закон нормального распределения

  Гауссиана — график нормального распределения Интегральная функция распределения Где: β — среднеквадратичное отклонение (σ); α — среднее (М); e, π - константы Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами αи β, если ее плотность вероятности имеет вид:

• 
  Слайд 14

  Правило 3 сигм

  При нормальном распределении: M(+/-)σ=68,26% M(+/-)2σ=95,44% M(+/-)3σ=99,72%, M(+/-)3σ - интервал всех возможных значений Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок(с,d) Табличная функция Лапласа

• 
  Слайд 15

  Свойства нормального распределения

  Правило 3 сигм (99,72% значений лежат в рамках M+/-3σ) Распределение симметрично (А=0), эксцесс, т.е. мера остроты пика или Е = 0 Мода, медиана и среднее совпадают Значения, лежащие на равном расстоянии от M (среднего), будут иметь равную частоту в репрезентативной выборке

• 
  Слайд 16

  Проверка распределения на «нормальность»

  Графический способ; Статистический критерий Колмогорова-Смирнова (N>50 человек) ; W-критерий Шапиро-Уилка (N > 8 человек); Критерий ассиметрии и эксцесса См. ГОСТ Р ИСО 5479—2002

• 
  Слайд 17

  Критерий асимметрии и эксцесса

  1. Определить среднее арифметическое (М) и стандартное отклонение (σ). 2. Рассчитать показатели асимметрии и эксцесса. А= Е= -3 3. Рассчитать критические значения А и Е АЕ 4. Если А

• 
  Слайд 18

  Закон нормального распределения: следствия

  Знаем, какой процент испытуемых наберет определенные баллы по тесту; Стандартизируем на этой основе баллы по тесту; Оцениваем параметры генеральной совокупности по выборочным данным; Рассчитываем статистическую значимость наших выводов; И задействуем его во всей индуктивной статистике в той или иной степени...