Презентация на тему "Аппроксимация функций"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Аппроксимация функций(продолжение)

• 
  Слайд 2
  

  Многочлен Лагранжа. Перейдем к случаю глобальной интерполяции. Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

• 
  Слайд 3
  

  При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен быть равен единице.

• 
  Слайд 4
  

  этим условиям приi = 0 отвечает многочлен вида Действительно, l0(x0) = 1. При х = х1, х2, ... , хn числитель выражения обращается в нуль.

• 
  Слайд 5
  

  Аналогично ………………………………………………………

• 
  Слайд 6
  

  Подставляя l0 , l1 ,…, lnвL(x) получим эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

• 
  Слайд 7
  

  Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1) и квадратичной (n = 2) интерполяций:

• 
  Слайд 8
  

  Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции yi в узлах xi задаются значения ее производной уi’. Задача состоит в том, чтобы найти многочлен степени 2n+ 1, значения которого и значения его производной в узлах xi удовлетворяют соответственно соотношениям

• 
  Слайд 9
  

  Многочлен Ньютона. рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi- хi-1 = h = const (i = 1,2,...,n). Величина h называется шагом.

• 
  Слайд 10
  

  Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах Составим разности значений функции: Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

• 
  Слайд 11
  

  вторые разности функции: Аналогично составляются разности порядка k :

• 
  Слайд 12
  

  Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  

  Аналогично для любого kможно написать Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi:

• 
  Слайд 15
  

  Используя конечные разности, можно определить уk

• 
  Слайд 16
  

  Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

• 
  Слайд 17
  

  График многочлена должен проходить через заданные узлы, Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

• 
  Слайд 18
  

  Найдем отсюда коэффициенты

• 
  Слайд 19
  

  Общая формула имеет вид

• 
  Слайд 20
  

  Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

• 
  Слайд 21
  

  Данную формулу часто записывают в другом виде. Для этого вводится переменная тогда

• 
  Слайд 22
  

  тогда Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

• 
  Слайд 23
  

  Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента [х0, хn]. Однако с точки зрения повышения точности расчетов более целесообразно использовать эту формулу для вычисления значении функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

• 
  Слайд 24
  

  Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево. В этом случае

• 
  Слайд 25
  

  тогда Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.