Мы перечислили все свойства четырёх замечательных точек треугольника, но решая задачи мы догадались и ещё об одной особенности этих точек.

3. Решение задач ( систематизация знаний, умений и навыков учащихся ).

Задача № 1.

В остроугольном ∆ АВС АD перпендикулярно ВС, СF перпендикулярно АВ, АD пересекает CF в точке М.

Докажите, что угол АВМ равен углу МСА.

B

Дано: ∆ АВС, AD ┴ BC, CF ┴ AB,

AD × CF=M.

Доказать: ∟ ABM= ∟ MCA.

F

D

A C Доказательство.

М – точка пересечения двух высот, следовательно, третья высота ВН тоже проходит через эту точку.

∆ FBM подобен ∆ HMC( по первому признаку подобия треугольников), так как ∟FMB=∟ HMC – они вертикальные, ∟МHС=∟MFB=90º . По определению подобных треугольников ∟ АВМ= ∟МСА.

Задача 2.

В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ=m, угол АВС равен α. Найдите расстояние от точки М до стороны АС.

С Дано:∆ АВС, AD и СЕ – биссектрисы, AD×CE=M,

D ВМ=m,∟АВС= α.

Н

Найти: МН.

А В

Е

Решение:

Так как точка М лежит на биссектрисе угла С, то МН=МН1(по свойству биссектрисы угла ), и М – точка пересечения двух биссектрис, следовательно, ВМ тоже биссектриса. Тогда ∟МВН1= α/2.

Рассмотрим ∆МВН1: ∟МН1В=90º, ∟МВН1= α/2, МВ=m; по определению синуса острого угла МН1=m·sin( α/2), значит МН= m·sin( α/2).

Ответ: m·sin( α/2).

Домашнее задание (записать в тетрадях).

На следующем уроке учащиеся познакомятся с вписанной окружностью, эти задачи предшествуют объяснению нового материала

1) На рис.1 окружность с центром в точке О касается сторон угла МКN в точках М и N. Найдите угол МКN и расстояние МN, если ОМ=1 см, КМ=2см.

К

�

2) Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром в точке О.

а) Найдите ОА, если r=5 см, угол А равен 60 º.

б) Найдите r, если ОА=14 дм, угол А равен 90º .

Выполнение проверочной самостоятельной работы.

Работа выполняется в шести вариантах, различного уровня сложности: первых четыре варианта рассчитаны на среднего ученика, пятый вариант для более подготовленных учащихся, шестой на слабого и содержит небольшую подсказку в решении.

Текст используемых в работе задач.

Вариант 1.

В прямоугольном треугольнике АСВ (угол С равен 90 º) АЕ-биссектриса, СЕ=5, АВ=14. Найдите площадь треугольника АВЕ.

Вариант 2.

Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, ОА=4, OD=3, BD=4. Найдите расстояние от точки О до стороны АС.

Вариант 3.

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С равен 90 º) р-серединный перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К, АК=5, ВС=4. Найдите периметр треугольника ВКС.

Вариант 4..

. В остроугольном треугольнике АВС h и р-серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF=10, AB=16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.

Вариант 5*.

Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А в два раза больше угла В. Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО пересекает окружность в точке К. Докажите, что КС параллельна АВ.

Вариант 6º.

В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и CF пересекаются в точке К, ВК=6, АС=10. Найдите площадь треугольника АВС.(45)

Дано: ∆ АВС, АВ=ВС, АЕ и СF-медианы,

В АЕ × СF=К, ВК=6, АС=10.

А�С Найти: S ∆ АВС.

Н

Решение.

(подсказка: К-точка пересечения медиан, значит ВН тоже медиана, тогда ВК=2КН…)

Решение самостоятельной работы.

Вариант 1.

Дано:∆ АВС, (∟С=90º), АЕ – биссектриса,

СЕ=5, АВ=14.

Найдите: S АВС.

Решение.

S АВС=1/2 ЕD·АВ. Так как АЕ – биссектриса, то СЕ=ЕD=5. Тогда S АВС=1/2·14·5=35.

Ответ: 35.

В Вариант 2.

Дано:∆ АВС, AD и CE – высоты,

AD × CE=О, ОА=4, ОD=3, ВD=4.

D Найти: ОН.

Е

А С

Н

Решение.

∆ ВОD подобен ∆ АОН(по первому признаку подобия). Отсюда, OD/OH=BO/AO.

Из ∆ ВОD: ВО=√16+9=5, тогда ОН=2,4.

Ответ: 2,4.

Вариант 3.

Дано: ∆ АВС, ∟С=90º, p ┴ АВ, p×АС=К, АК=5,

А ВС=4.

р Найти: Р ВКС.

Н

К

С В

Решение.

Так как точка К лежит на серединном перпендикуляре, то АК=КВ=5. Треугольник КСВ – прямоугольный, по теореме Пифагора КС=3. Тогда Р КВС=3+5+4=12.

Ответ: 12.

Вариант 4.

Дано: ∆ АВС, h и р – серединные перпендикуляры,

В h×р=F, CF=10, АВ=16.

Найти: FH.

h

Н

А С

Решение.

F- точка пересечения двух серединных перпендикуляров, а значит и третьего FН, тогда НВ=8, BF=FC=10. Отсюда, HF=6.

Ответ: 6.

Вариант 5.

С К

Дано: окр.(О;r), точки А,В,С – лежат на

окружности, ∟А=2∟В, AF и CF – биссектрисы

AF ×CF=О, АО×окр.(О;r)=К

Доказать: КС║АВ.

А Е В

Доказательство.

Углы СКА и СВА опираются на одну дугу, значит они равны. Но угол В равен половине угла А, следовательно и угол СКА равен половине угла А. Так как угол СКА равен углу КАВ и они накрест лежащие при прямых СК и АВ и секущей АК, то КС║АВ.

�

�

�

Геометрия, 8 класс.

Учитель: Юдина Наталья Вячеславовна.

_1207993027.ppt

*
*
*

Точка пересечения медиан!
.
А
В
С
А1
В1
С1
М
М – точка пересечения медиан АВС; АМ:МА1=ВМ:МВ1=СМ:МС1==2:1

_1208052362.bin

Тема. Четыре замечательные точки треугольника.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Эпиграф к уроку.

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

А.С.Пушкин.

Цель урока.

Систематизировать, расширить и углубить ваши знания, умения и навыки:

- о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра треугольника;

- о четырёх замечательных точках треугольника;

- уметь использовать эти знания при решении задач.

Развивать вашу наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Вызвать у вас потребность в обосновании своих высказываний.

План урока.

Проверка домашнего задания.

Повторение теоретического материала.

Решение задач на отработку знаний, умений и навыков.

Домашнее задание.

Самостоятельная проверочная работа.

Ход урока.

Проверка домашнего задания

№ 681.

В

Н Дано: АВС, АВ=ВС, НЕ – серединный перпендикуляр, Р АЕС=27 см, АВ=18 см.

Е Найти АС.

А С

Решение:

Р АЕС = АЕ+ЕС+АС, Р АЕС = 27 см. Так как НЕ – серединный перпендикуляр, то АВЕ равнобедренный, АЕ = ВЕ. АВС равнобедренный по условию, АВ=ВС=18 см, тогда ВЕ+ЕС=18см или АЕ+ЕС=18см. Отсюда АС=27см – 18см=9см.

Ответ: 9 см.

№ 720.

В

Дано: АВС – разносторонний,

h – серединный перпендикуляр.

Выяснить: принадлежит ли точка В

серединному перпендикуляру h?

А С

h

Решение:

Пусть точка В принадлежит серединному перпендикуляру h. Тогда h является и медианой и высотой ∆ АВС, ∆ АВС – равнобедренный. А это противоречит условию задачи. Значит, точка В не принадлежит серединному перпендикуляру h.

Повторение теоретического материала: отвечаем на вопросы.

* Что вам известно о точках биссектрисы неразвёрнутого угла?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

* Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку.

* Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сколько серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они обладают?

* Сколько высот можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?

Перечислите четыре замечательные точки треугольника !

Мы перечислили все свойства четырёх замечательных точек треугольника, но решая задачи мы догадались и ещё об одной особенности этих точек.

3. Решение задач ( систематизация знаний, умений и навыков учащихся ).

Задача № 1.

В остроугольном ∆ АВС АD перпендикулярно ВС, СF перпендикулярно АВ, АD пересекает CF в точке М.

Докажите, что угол АВМ равен углу МСА.

B

Дано: ∆ АВС, AD ┴ BC, CF ┴ AB,

AD × CF=M.

Доказать: ∟ ABM= ∟ MCA.

F

D

A C Доказательство.

М – точка пересечения двух высот, следовательно, третья высота ВН тоже проходит через эту точку.

∆ FBM подобен ∆ HMC( по первому признаку подобия треугольников), так как ∟FMB=∟ HMC – они вертикальные, ∟МHС=∟MFB=90º . По определению подобных треугольников ∟ АВМ= ∟МСА.

Задача 2.

В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ=m, угол АВС равен α. Найдите расстояние от точки М до стороны АС.

С Дано:∆ АВС, AD и СЕ – биссектрисы, AD×CE=M,

D ВМ=m,∟АВС= α.

Н

Найти: МН.

А В

Е

Решение:

Так как точка М лежит на биссектрисе угла С, то МН=МН1(по свойству биссектрисы угла ), и М – точка пересечения двух биссектрис, следовательно, ВМ тоже биссектриса. Тогда ∟МВН1= α/2.

Рассмотрим ∆МВН1: ∟МН1В=90º, ∟МВН1= α/2, МВ=m; по определению синуса острого угла МН1=m·sin( α/2), значит МН= m·sin( α/2).

Ответ: m·sin( α/2).

Домашнее задание (записать в тетрадях).

На следующем уроке учащиеся познакомятся с вписанной окружностью, эти задачи предшествуют объяснению нового материала

1) На рис.1 окружность с центром в точке О касается сторон угла МКN в точках М и N. Найдите угол МКN и расстояние МN, если ОМ=1 см, КМ=2см.

К

�

2) Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром в точке О.

а) Найдите ОА, если r=5 см, угол А равен 60 º.

б) Найдите r, если ОА=14 дм, угол А равен 90º .

Выполнение проверочной самостоятельной работы.

Работа выполняется в шести вариантах, различного уровня сложности: первых четыре варианта рассчитаны на среднего ученика, пятый вариант для более подготовленных учащихся, шестой на слабого и содержит небольшую подсказку в решении.

Текст используемых в работе задач.

Вариант 1.

В прямоугольном треугольнике АСВ (угол С равен 90 º) АЕ-биссектриса, СЕ=5, АВ=14. Найдите площадь треугольника АВЕ.

Вариант 2.

Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, ОА=4, OD=3, BD=4. Найдите расстояние от точки О до стороны АС.

Вариант 3.

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С равен 90 º) р-серединный перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К, АК=5, ВС=4. Найдите периметр треугольника ВКС.

Вариант 4..

. В остроугольном треугольнике АВС h и р-серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF=10, AB=16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.

Вариант 5*.

Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А в два раза больше угла В. Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО пересекает окружность в точке К. Докажите, что КС параллельна АВ.

Вариант 6º.

В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и CF пересекаются в точке К, ВК=6, АС=10. Найдите площадь треугольника АВС.(45)

Дано: ∆ АВС, АВ=ВС, АЕ и СF-медианы,

В АЕ × СF=К, ВК=6, АС=10.

А�С Найти: S ∆ АВС.

Н

Решение.

(подсказка: К-точка пересечения медиан, значит ВН тоже медиана, тогда ВК=2КН…)

Решение самостоятельной работы.

Вариант 1.

Дано:∆ АВС, (∟С=90º), АЕ – биссектриса,

СЕ=5, АВ=14.

Найдите: S АВС.

Решение.

S АВС=1/2 ЕD·АВ. Так как АЕ – биссектриса, то СЕ=ЕD=5. Тогда S АВС=1/2·14·5=35.

Ответ: 35.

В Вариант 2.

Дано:∆ АВС, AD и CE – высоты,

AD × CE=О, ОА=4, ОD=3, ВD=4.

D Найти: ОН.

Е

А С

Н

Решение.

∆ ВОD подобен ∆ АОН(по первому признаку подобия). Отсюда, OD/OH=BO/AO.

Из ∆ ВОD: ВО=√16+9=5, тогда ОН=2,4.

Ответ: 2,4.

Вариант 3.

Дано: ∆ АВС, ∟С=90º, p ┴ АВ, p×АС=К, АК=5,

А ВС=4.

р Найти: Р ВКС.

Н

К

С В

Решение.

Так как точка К лежит на серединном перпендикуляре, то АК=КВ=5. Треугольник КСВ – прямоугольный, по теореме Пифагора КС=3. Тогда Р КВС=3+5+4=12.

Ответ: 12.

Вариант 4.

Дано: ∆ АВС, h и р – серединные перпендикуляры,

В h×р=F, CF=10, АВ=16.

Найти: FH.

h

Н

А С

Решение.

F- точка пересечения двух серединных перпендикуляров, а значит и третьего FН, тогда НВ=8, BF=FC=10. Отсюда, HF=6.

Ответ: 6.

Вариант 5.

С К

Дано: окр.(О;r), точки А,В,С – лежат на

окружности, ∟А=2∟В, AF и CF – биссектрисы

AF ×CF=О, АО×окр.(О;r)=К

Доказать: КС║АВ.

А Е В

Доказательство.

Углы СКА и СВА опираются на одну дугу, значит они равны. Но угол В равен половине угла А, следовательно и угол СКА равен половине угла А. Так как угол СКА равен углу КАВ и они накрест лежащие при прямых СК и АВ и секущей АК, то КС║АВ.

�

�

�

Геометрия, 8 класс.

Учитель: Юдина Наталья Вячеславовна.

_1207993027.ppt

*
*
*

Точка пересечения медиан!
.
А
В
С
А1
В1
С1
М
М – точка пересечения медиан АВС; АМ:МА1=ВМ:МВ1=СМ:МС1==2:1

_1208052362.bin

Скачать конспект