Содержание
-
Числа Бернулли
-
«Прогресс науки определяется трудами ее ученых и ценностью ее открытий» Л.Пастер
-
Теория чисел — раздел математики, занимающийся изучением чисел как таковых так и их свойств и поведения в различных ситуациях. Как сказал великий математик Пифагор"Все есть число!“ Изучая числа мы изучаем окружающий нас мир и себя в том числе. С древних времен математики пытались постичь тайны удивительного мира чисел. Этот мир привлекает своим многообразием, строгостью и совершенством законов. Здесь есть «великаны» и есть «карлики», обычные «трудяги» и такие «знаменитости», как π и e. Числа Бернулли. «Прогресс науки определяется трудами ее ученых и ценностью их открытий»Л.Пастер
-
Но еще более многообразен мир числовых последовательностей. Здесь и последовательность натуральных чисел и полная глубоких тайн последовательность простых чисел и последовательность “биноминальных коэффициентов”… В моей работе речь пойдет об одной замечательной последовательности чисел, которую открыл выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—1705).Последовательность эта играет в математике важную роль, что объясняется ее связью с вопросами суммирования функций, простыми числами, великой теоремой Ферма, а также другими задачами.
-
Чтобы найти обобщенную формулу для вычисления этих сумм Якоб Бернулли (27 декабря 1654 - 16 августа 1705) профессор математики Базельского университета (с 1687). Из семьи Бернулли. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета. Отец прочил Якоба в священнослужители, и ему пришлось изучать в университете философию, богословие и языки. Отец не допускал отступления от намеченного плана, поэтому Якоб вынужден был заниматься математикой тайком, без учителя и почти без учебников. Обучение в университете шло своим чередом, и в 1671г. он получил степень магистра философии. В 1676 Якоб отправился в длительное путешествие, из которого возвратился только в 1680г. Он посетил некоторые города Швейцарии, Италию, Францию.
-
По возвращении в Базель Якоб опубликовал в 1681 и 1682 две работы: одна содержала рассуждения о природе комет, другая - о тяжести эфира. Наиболее значительные достижения Якоба I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687, ознакомившись с первым мемуарам Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684), применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. В труде "Искусство предложения" Якоб I в 1713 решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.
-
Династия Бернулли БЕРНУЛЛИ - династия швейцарских ученых родом из Антверпена, бежавших из города после захвата его испанцами и поселившихся в 1622 году в Базеле. По крайней мере восемь ее представителей оставили заметный след в истории точных наук. Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро представителей семьи Бернулли. Примечательно не то, что это семейство сделало ряд значимых открытий в разных областях науки, а то, что они, за исключением только некоторых членов семьи, были как-либо связаны с наукой, в частности с математикой
-
Якоб (1598-1634) Николай (1623-1708) Якоб I (1654-1705) Николай Николай(1662-1716) Николай I (1687-1759) Жером(1669-1760) Иоганн I (1667-1748) Николай II (1695-1726) Даниил I (1700-1782) Иоганн II (1710-1790) Якоб II (1759-1789) Иоганн III (1744-1807) Даниил II(1751-1834) Кристоф(1782-1863) Иоганн-Густав(1811-1863) Многие их открытия даже сейчас кажутся нам нереальными, недоказуемыми, но и как все гениальное – простыми.
-
Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, … является бесконечным и называется натуральным рядом. При изучении свойств чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, указал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы для сумм от S(n) до S(n10): Запись чисел.
-
S1 (n)=11+21+31 +…n1 S2 (n)=12 +22+32 +…n2 S3 (n)=13 +23 +33+…n3 . . . . . . . . . Sk (n)=1k +2k +3k+…nk S10(1000)=110+210+310+…100010
-
Найдем обобщенную формулу для вычисления этих сумм. 1) Обозначим эти суммы следующим символом:S. 2) Возведем числа (от первогочисла до числа n) этих сумм в степень. 3) С помощью разложения: Которое мы получили при последовательном возведении двучлена (бинома) a+b первую, вторую, третью, … степени a+b=1·a+1·b (a+b)2=1·a2+2·ab+1·b2 (a+b)3=1·a3+3·a2b+3·ab2+1·b3 (a+b)4=1·a4+4·a3b+6·a2b2+4·ab3+1·b4 напишем тождество:
-
4) предположим, что а=1 тогда, Аналогично подставляем следующие числа до числа n. 5) Складываем результаты слева и справа и получаем: 6) Вместо Sk(n) подставим числа Отсюда вытекает рекуррентное соотношение:
-
Из которого легко получить сумму Sk(n), если известно S1(n), S2(n),…Sk-1(n) Например, проверим, что Находя Находя и так далее…
-
Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B0,B1,B2,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Из формулы S1 (n), S2 (n), S3(n)следует что, В0=1, B1= , B2= , B3=0 Из определения и рекуррентного соотношения вытекает простой способ вычисления чисел Бернулли. Из следующей формулы мы можем вычислить Bk
-
C помощью этой формулы можно проверить значения первых четырех чисел Бернулли. Я проверю значение B4 Для расчета B4 нам также понадобились следующие значения
-
Бернулли удалось доказать, что и другие коэффициенты многочлена Sk(n) вычисляются с помощью чисел Вk. Коэффициент при n2 оказывается равным , коэффициент при n3 равен,наконец, коэффициент при степени nkоказывается не зависящим от kи всегда равным Таким образом, формула Бернулли имеет вид
-
Вычислим с помощью этой формулы S5(n)следующим образом S5(n)=15 +25 +35 +…+n5 За счет этой формулы мы с легкостью можем высчитать сумму степеней любого числа,например;
-
Для чего же нам нужны числа Бернулли? Изучая этот материал я выяснила, что числа Бернулли не зря используются в математических анализах и в теории чисел. Они помогают очень быстро вычислить сумму степеней любого числа а также разложить некоторые элементарные функций в степенные ряды.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.