Презентация на тему "Элементы планиметрии" 7 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Элементы планиметрии

  1 Планиметрия – это от латинского planum — «плоскость»,  от древне-греческого μετρεω — «измеряю» раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры (т.е. фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости). В5 В8

• 
  Слайд 2
  

  2 Площади

• 
  Слайд 3

  Площади плоских фигур

  Площадь плоской фигуры – это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. Аддитивность (от латинского additivus – прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме объемов составляющих его частей. Аддитивность площади означает, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, если этих частей конечное число. 3

• 
  Слайд 4

  Прямоугольный треугольник

  В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 900. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Две прилежащие к прямому углу стороны называют катетами. Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (с)равен сумме квадратов катетов (aи b). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: 4     !

• 
  Слайд 5
  

  Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите диагональ квадрата . Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.   5 Примеры задач

• 
  Слайд 6

  Прямоугольный треугольник

  Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой. Если у двух точек одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то соответствующие отрезки параллельны осям координат. В таких случаях длину отрезка можно найти, если вычесть различающиеся координаты точек. 6 А(4;10), В(4; 2), С(6;2) Например: АВ ||Оу, а значит АВ = 10 – 2 = 8 ВС ||Ох, а значит ВС = 6 – 4 = 2 АС можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев АВС  

• 
  Слайд 7
  

  Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости. Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости. 7 Примеры задач

• 
  Слайд 8

  Площадь произвольного треугольника

  Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведенную к этой стороне: Как правило, в качестве высоты и основания удобно брать те стороны, которые проходят по линиям клеточной бумаги (или же проходит параллельно осям координат). 8  

• 
  Слайд 9
  

  Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.   9 Примеры задач

• 
  Слайд 10

  Площадь прямоугольника (квадрата)

  Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Противоположные стороны прямоугольника попарно равны. 10 Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: A B C D a b   Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: !   !

• 
  Слайд 11
  

  Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.   11 Примеры задач

• 
  Слайд 12
  

  12 Для нахождения площади произвольного многоугольника необходимо разбить фигуру на треугольники и прямоугольники ИЛИ достроить до треугольника или прямоугольника. Примеры произвольных многоугольников: Площадь произвольного многоугольника

• 
  Слайд 13

  Площадь ромба

  Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. 13 a a d1 d2 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Квадрат является ромбом. Ромб является параллелограммом и обладает его свойствами.   ! !

• 
  Слайд 14
  

  Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой на координатной плоскости.   14 Примеры задач

• 
  Слайд 15

  Площадь параллелограмма

  Свойства параллелограмма: Противоположные стороны попарно равны и параллельны. Противоположные углы попарно равны. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне: Прямоугольник, квадрат, ромб – это четырехугольники, которые являются параллелограммом. Они обладают свойствами параллелограмма. 15 a h   Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. !

• 
  Слайд 16
  

  Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.   16 Примеры задач

• 
  Слайд 17

  Площадь трапеции

  17 a h Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. b Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований (a + b) на высоту (h):  

• 
  Слайд 18
  

  Найдите площади трапеций, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь трапеций, изображённых на координатной плоскости.   18 Примеры задач

• 
  Слайд 19
  

  Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — О) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга). Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса: 19 А О О А Площадь круга    

• 
  Слайд 20
  

  Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.   20 Примеры задач

• 
  Слайд 21
  

  21 Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. – соответствующий центральный угол, – длина дуги сектора Площадь кругового сектора:   Площадь кругового сектора    

• 
  Слайд 22
  

  Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.   22 Примеры задач

• 
  Слайд 23

  Элементы планиметрии

  23 Координаты и векторы В5 В8

• 
  Слайд 24

  Координаты точек

  24 Расстояние между точками A(xA, yA) и B(xB,yB): Середина C отрезка AB, где A(xA, yA) и B(xB,yB):     О xA xB X C(х;у) Y yB yA A(хA;уA) B(хB;уB)

• 
  Слайд 25
  

  25 Если точки А и В симметричны относительно оси Ох (очи абсцисс), то их ординаты О X C Y A B D

• 
  Слайд 26

  Треугольник

  Треуго́льник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев. Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника. 26 Основные элементы треугольника ABC:Вершины – точки A, B, и C;Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C. ?

• 
  Слайд 27

  Виды треугольников

  b a     Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние линии, которые связаны с видами треугольников. По сторонам выделяют разносторонний (произвольный), равнобедренный и равносторонний (правильный) треугольники. По углам выделяют прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники. 27 b a c c b a             c     ?

• 
  Слайд 28

  Высота треугольника

  Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Свойства высоты треугольника: A B C ha hb O hb A C B В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон. Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника. 28 ?

• 
  Слайд 29

  Медиана треугольника

  Медианатреугольника (от лат. mediana – «средняя») – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Свойства медианы треугольника: 29 A B C O mc mb ma Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников. ?

• 
  Слайд 30

  Биссектриса треугольника

  Биссектрисатреугольника (от лат. bis– «дважды» и seko – «рассекаю») называют заключенный внутри треугольника отрезок прямой, который делит пополам его угол. Свойства биссектрисы треугольника: 30 A B C Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны. O lc la lb ?

• 
  Слайд 31

  Средняя линия треугольника

  Средняя линия треугольника– это отрезок, соединяющие середины двух сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине. Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника. 31 B A C B A C L M N L N   ?

• 
  Слайд 32

  Равнобедренный треугольник

  Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны между собой. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным. Свойства равнобедренного треугольника: 32 a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина третей стороны, α и β – соответствующие углы, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов, равны. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые . ?

• 
  Слайд 33

  Равносторонний треугольник

  Правильный треугольник или равносторонний треугольник – правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или ) a– сторона правильного треугольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности; h– высота. Свойства равностороннего треугольника: Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.  Центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Имеют место следующие соотношения:   33   R   r   S   h a ?

• 
  Слайд 34

  Прямоугольный треугольник

  Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол. Свойства прямоугольного треугольника: 34 Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы). Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности. ?