Презентация на тему "Элементы векторной алгебры"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Элементы векторной алгебры.

  Лекции5-7

• 
  Слайд 2
  

  Вектором называется направленный отрезок. Обозначают векторы символами или , где А- начало, а B-конец направленного отрезка . А В

• 
  Слайд 3
  

  Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем или абсолютной величиной. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых

• 
  Слайд 4
  

  Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. Два вектора, имеющие равные длины, коллинеарные и противоположно направленные, наз. противоположными.

• 
  Слайд 5
  

  Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом. Ортом вектора называется сонаправленный ему вектор и обозначается

• 
  Слайд 6

  Линейные операции над векторами

• 
  Слайд 7
  

  Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

• 
  Слайд 8

  Сложение векторов

  Правило треугольника.

• 
  Слайд 9

  Правило параллелограмма

• 
  Слайд 10

  Сумма нескольких векторов

• 
  Слайд 11

  Вычитание векторов

  Разностью векторов и называется вектор такой, что

• 
  Слайд 12

  Свойства

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14

  Умножение вектора на число

  Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1. , 2. при и при .

• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16

  Свойства

• 
  Слайд 17
  
• 
  Слайд 18
  

  Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство Если орт вектора , то и тогда

• 
  Слайд 19

  Пример

  В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N. Пусть , выразить вектор через и . Решение M N А В С

• 
  Слайд 20

  Угол между двумя векторами

• 
  Слайд 21
  

  Углом между векторами называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Под углом между вектором и осью понимают угол между этим вектором и единичным вектором, расположенным на оси

• 
  Слайд 22

  Проекция вектора на ось

• 
  Слайд 23
  

  A B )

• 
  Слайд 24

  Линейная зависимость векторов

• 
  Слайд 25
  

  Векторы наз-ся линейно зависимыми, если существуют числа ,не все равные 0, для которых имеет место равенство

• 
  Слайд 26
  

  Векторы называются линейно независимыми, если равенство выполняется только при

• 
  Слайд 27
  

  Если векторы линейно зависимы, то один из них можно выразить через другие, представив его в виде линейной комбинации этих векторов.

• 
  Слайд 28
  
• 
  Слайд 29
  

  Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

• 
  Слайд 30
  

  Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие :

• 
  Слайд 31
  

  Для того чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

• 
  Слайд 32
  

  Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трём.

• 
  Слайд 33

  Базис на плоскости и в пространстве

• 
  Слайд 34
  

  Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора. Т. Разложение любого вектора на плоскости по базису является единственным

• 
  Слайд 35
  

  Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора. Т. Разложение любого вектора в пространстве по базису является единственным

• 
  Слайд 36

  Прямоугольный декартовый базис

• 
  Слайд 37
  

  Z Y X О

• 
  Слайд 38
  

  Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного единичного базиса. Прямые, проходящие в направлении базисных векторов , называются осями координат.

• 
  Слайд 39
  

  O X Y Z

• 
  Слайд 40
  

  O X Y Z

• 
  Слайд 41
  
• 
  Слайд 42

  Линейные операции над векторами в координатной форме

• 
  Слайд 43
  

  Пусть тогда: 1) 2) 3) 4)

• 
  Слайд 44

  Вычисление координат вектора

  Пусть даны точки и А В

• 
  Слайд 45
  

  Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала: Длину вектора вычисляют по формуле

• 
  Слайд 46

  Направляющие косинусы

• 
  Слайд 47
  

  X Y Z M O ) )

• 
  Слайд 48
  

  Пусть дан вектор

• 
  Слайд 49
  
• 
  Слайд 50
  
• 
  Слайд 51

  Координаты единичного вектора

• 
  Слайд 52

  Пример

  Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5). Решение.

• 
  Слайд 53

  Деление отрезка в данном отношении

• 
  Слайд 54
  

  Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении.

• 
  Слайд 55
  

  Тогда

• 
  Слайд 56
  
• 
  Слайд 57

  Деление отрезка пополам

  Если , то , т. е. точка М –середина отрезка, имеем

• 
  Слайд 58

  Скалярное произведение векторов

  Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

• 
  Слайд 59
  
• 
  Слайд 60
  
• 
  Слайд 61

  Проекция вектора на вектор

• 
  Слайд 62

  Физический смысл скалярного произведения

  Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

• 
  Слайд 63

  Геометрические свойства скалярного произведения

  Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.

• 
  Слайд 64

  Свойства скалярного произведения (продолжение)

  Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

• 
  Слайд 65

  Свойства скалярного произведения

• 
  Слайд 66

  Скалярные произведения базисных векторов

• 
  Слайд 67

  Скалярное произведение в координатной форме.

  Если то

• 
  Слайд 68

  Пример

  Дан вектор , причем , , угол между векторами и равен Найти модуль вектора Решение Так как и то

• 
  Слайд 69
  

  Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами

• 
  Слайд 70

  Решение

  Изобразим треугольник ABC А В С

• 
  Слайд 71

  Векторное произведение векторов

• 
  Слайд 72

  Понятие «правой» тройки векторов

  Тройку векторов называют правой, если направление вектора таково, что, смотря из его конца вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора к вектору будет виден против движения часовой стрелки. - правая тройка

• 
  Слайд 73
  

  Векторным произведением вектора на вектор наз. вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) 2) 3)векторы образуют правую тройку

• 
  Слайд 74

  Обозначение векторного произведения векторов

• 
  Слайд 75

  Физический смысл векторного произведения

  Если – сила, приложенная к точке М, то момент этой силы относительно точки О равен векторному произведению векторов и . O M

• 
  Слайд 76

  Векторные произведения координатных векторов

• 
  Слайд 77

  Векторное произведение в координатной форме

• 
  Слайд 78

  Площадь параллелограмма

  С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах:

• 
  Слайд 79

  Площадь треугольника

• 
  Слайд 80

  Геометрические свойства векторного произведения

  Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда

• 
  Слайд 81
  

  Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

• 
  Слайд 82

  Алгебраические свойства векторного произведения

  Векторное произведение удовлетворяет

• 
  Слайд 83

  Пример

  Найти если Решение

• 
  Слайд 84
  

  Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин: :

• 
  Слайд 85

  Смешанное произведение

  Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида :

• 
  Слайд 86

  Смешанное произведение вычисляют по формуле

• 
  Слайд 87
  

  Известно, чтотри вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

• 
  Слайд 88

  Условие компланарности трёх векторов

  Если компланарны, то Элементами определителя являются координаты векторов

• 
  Слайд 89

  Объём параллелепипеда

  Если параллелепипед построен на трех векторах как на сторонах , то его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов:

• 
  Слайд 90

  Объём тетраэдра

  Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет одну шестую часть параллелепипеда и поэтому