Презентация на тему "Франсуа Виет и его теорема"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Франсуа Виет и его теорема как инструмент для решения уравнений

  pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Человек живет,пока думает . Решайте задачи и живите долго! Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский)

• 
  Слайд 3

  Франсуа Виет

  (1540-1603) В 2010 году исполнилось 470 лет со дня рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как науке о преобразовании выражений, создателя буквенного исчисления, Франсуа Виета.

• 
  Слайд 4

  Актуальность

  Уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

• 
  Слайд 5
  

  Цель:изучить материал о великом учёном, французском математике – Франсуа Виете, рассмотреть квадратные уравнения частного порядка, научиться использовать теорему Виета как инструмент для решения уравнений и задач, связанных с корнями и коэффициентами уравнения n-ой степени.

• 
  Слайд 6
  

  Задачи:выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет, его вклад в математику; узнать историю его жизни;повторить понятие квадратного уравнения, узнать об уравнениях частного порядка и их решении рациональным способом;узнать какие уравнения называются уравнениями высших степеней; рассмотреть теорему Виета как инструмент для решения уравнений и других задач.

• 
  Слайд 7

  Кто Вы, господин Виет?

  Франсуа Виет – крупнейший французский математик 16 века Родился в 1540 году во Франции в городе Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно увлеченно он начал работать в области математики с 1584г. Виет детально изучил труды, как древних, так и современных ему математиков. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях.

• 
  Слайд 8

  Математические открытия

  Главные открытия Ф. Виета изложены в знаменитом «Введении в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году.Основной замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Франсуа называл алгебру аналитическим искусством. Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти…»

• 
  Слайд 9

  Интересные факты из жизни и деятельности ученого

  Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4). Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы. Ученый мог работать по трое суток без сна!

• 
  Слайд 10
  

  Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени. Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно. Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом.

• 
  Слайд 11
  

  Квадратные уравнения Квадратным уравнением называют уравнения вида ax²+bx+c = 0, где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0. Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1. Пример: x2 + 2x + 6 = 0. Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример: 2x2 + 8x + 3 = 0. Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

• 
  Слайд 12
  

  Теорема ВиетаОчень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения: ax² + bx + c = 0необходимо и достаточно выполнения равенстваx1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/aПример.х²-4х-12=0х1=-2 х2=6

• 
  Слайд 13
  

  По праву в стихах быть воспетаО свойствах корней теорема Виета.Что лучше, скажи, постоянства такого:Умножишь ты корни и дробь уж готова:В числителе С, в знаменателе А,А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда-В числителе B, в знаменателе A. И. Дырченко

• 
  Слайд 14
  

  Квадратные уравнения частного характера 1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то х1=1, а х2 = 2)Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c= 0, то: х1=-1, а х2 =- 3) Метод “переброски” Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями: х1 = и х2 =

• 
  Слайд 15

  Пример

  418х² - 1254х + 836 = 0 Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить. a = 418, b = -1254, c = 836. х1 = 1, х2 = 2

• 
  Слайд 16
  

  Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней   Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней. Пусть многочлен P(x) = a0xn+ a1xn-1+ … +an имеет n различных корней x1 , x2 …, xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида: a0xn+ a1xn-1 +…+ an = a0( x – x1)( x – x2)*…*(x – xn) Разделим обе части этого равенства на a0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:   xn+ ( )xn-1+ … + ( ) = xn – (x1 + x2 + … + xn) xn-1+ ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2+ … +(-1)n x1x2 … xn

• 
  Слайд 17
  

  Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство x1 + x2 + … + xn= - x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn= x1x2 … xn= (-1)n Например, для многочленов третей степени a0x³ + a1x² + a2x + a3 имеем тождества x1 + x2 + x3 = - x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = -

• 
  Слайд 18
  

  Если старший коэффициент многочлена , то для применения формул Виета нужно разделить все коэффициенты на . В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

• 
  Слайд 19

  Обратные корни

  Напишем приведённое кубическое уравнение , корни которого обратны корням уравнения Решение: 1) Пусть - корни уравнения 2) Т.к. , то по формулам Виета

• 
  Слайд 20
  

  3) Пусть - корни уравнения 4) Тогда, , 5)Т.к. , то по формулам Виета 6)Следовательно искомое уравнение имеет вид: , или .

• 
  Слайд 21
  

  Покажем, что формулы Виета позволяют рационально решать уравнения 2-й и 3-й степеней.Проведём эксперимент для уравнения 2-й степени

  В это опыте я сравнила время, потраченное на решение уравнения x²+3x+2=0 через дискриминант, и время на решениеэтого же уравнения с помощью теоремы Виета. В результате получилось, что в первом случае ученик тратит 35 секунд, а во втором- 15! Вывод: С формулами Виета можно сэкономить время!

• 
  Слайд 22

  Проведём эксперимент для уравнения 3-й степени

  Дано уравнение: Ищем корень среди чисел: Подбором находим один из корней уравнения, - . Следовательно, делится на .

• 
  Слайд 23
  

  или По формулам Виета: Ответ:

• 
  Слайд 24

  Теперьрешим то же уравнение с помощью формул Виета

  По формулам Виета: Следовательно, корни уравнения равны Вывод: формулы Виета позволяют рационально решить это уравнение.

• 
  Слайд 25
  

  При решении уравнений было замечено, что уравнения и имеют взаимно обратные корни.

• 
  Слайд 26

  Гипотеза

  Корни уравнений и , где , взаимно обратные.

• 
  Слайд 27

  Доказательство

  По формулам Виета из первого уравнения: Рассмотрим числа и

• 
  Слайд 28
  

  Значит, эти числа являются корнями уравнения что равносильно уравнению .

• 
  Слайд 29
  
• 
  Слайд 30
  

  Спасибо за внимание!