Презентация на тему "Линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Содержание

• 
  Слайд 1

  В Г У Э С

  1

• 
  Слайд 2

  Кафедраматематики и моделирования

  2

• 
  Слайд 3

  Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии

  Дубинина Любовь Яковлевна

• 
  Слайд 4

  оглавление

  4 Определители 2.Элементы теории матриц 3. Системы линейных уравнений 4.Элементы векторной алгебры

• 
  Слайд 5

  Оглавление(продолжение)

  5 5.Прямые и плоскости 6. Кривые второго порядка 7.Поверхности второго порядка 8.Замечательные кривые 9.Комплексные числа

• 
  Слайд 6

  Лекция1. Определители

  6 Выражение называется определителем 2-го порядка.

• 
  Слайд 7

  Определители

  7 Числа – это элементы определителя. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых находится указанный элемент.

• 
  Слайд 8
  

  8 Элементы называют элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.

• 
  Слайд 9

  Определителитретьего порядка

  9 Выражение называется определителем 3-го порядка.

• 
  Слайд 10

  минор

  10 Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычёркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент.

• 
  Слайд 11

  Обозначение минора

  11 Минор элемента , стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца определителя, обозначают Мij.

• 
  Слайд 12

  Алгебраическое дополнение

  12 Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент

• 
  Слайд 13

  Алгебраическое дополнение(продолжение)

  13 расположен на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если c нечётной.

• 
  Слайд 14

  В ы б о р з н а к а

  14 Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений определяются по таблице:

• 
  Слайд 15

  теорема разложения

  15 Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец)

• 
  Слайд 16

  Теорема разложения (продолжение)

  16 Таким образом, имеет место шесть разложений:

• 
  Слайд 17

  Свойства определителей

  17 1.Определитель не меняет своего значения при замене каждой строки соответствующим столбцом. 2.Определитель изменит знак ,если поменять местами любые две строки или столбца.

• 
  Слайд 18

  Свойства определителей(продолжение)

  18 3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

• 
  Слайд 19
  

  19 4.Определитель равен нулю, если он имеет два одинаковых столбца или строки. 5.Определитель равен нулю, если он имеет нулевой ряд.

• 
  Слайд 20
  

  20 6.Значение определителя не изменится, если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно число.

• 
  Слайд 21

  Определители высших порядков

  21 Выражение называется определителем 4-го порядка

• 
  Слайд 22

  Метод приведения к треугольному виду

  22 Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.

• 
  Слайд 23

  Ключевые понятия

  23 Определитель, элемент, строка, столбец, минор, алгебраическое дополнение, порядок определителя.

• 
  Слайд 24

  Вопросы для самопроверки потеме «Определители»

  24 1. Определители второго и третьего порядков. 2. Свойства определителей. 3. Методы вычислений определителей. 4. Алгебраическое дополнение. 5. Минор.

• 
  Слайд 25

  Лекция 2. Матрицы

  25 Матрицей называется прямоугольная таблица чисел . Если матрица содержит m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность .

• 
  Слайд 26

  Матрицы

  26 Матрица размера mm называется квадратной. Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

• 
  Слайд 27
  

  27 Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной) , если определитель её равен нулю.

• 
  Слайд 28
  

  28 Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

• 
  Слайд 29

  Действия над матрицами.

  29 Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B с одинаковыми индексами.

• 
  Слайд 30

  Действия над матрицами(продолжение)

  30 Произведением матрицы на число  называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на  .

• 
  Слайд 31
  

  31 Разностью двух матрицА и В одинаковой размерности называется матрица A+(-B).

• 
  Слайд 32
  

  32 Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой ,

• 
  Слайд 33
  

  33 стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B.

• 
  Слайд 34

  ИЗОБРАЖЕНИЕ МАТРИЦЫ

  34

• 
  Слайд 35

  Обратная матрица

  35 Две невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка называются обратными, если их произведение, взятое в любом порядке, равно единичной матрице того же порядка.

• 
  Слайд 36

  Формула обратной матрицы

  36 .

• 
  Слайд 37

  Единичная матрица

  37

• 
  Слайд 38

  Свойства операций надматрицами

  38 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.(A+B)k=kA+kB

• 
  Слайд 39

  Свойства операций над матрицами (продолжение)

  39 4.(AB)C=A(BC) 5.A(B+C)=AB+AC 6.A+O=A 7.AE=EA=A

• 
  Слайд 40

  Р а н г м а т р и ц ы

  40 Рангом матрицы называется порядок наивысшего отличного от нуля минора матрицы. Ранг матрицы A обозначается: R(A) или r(A) или rangA.

• 
  Слайд 41

  Теорема о ранге матрицы

  41 Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.

• 
  Слайд 42

  Ранг матрицы

  42 Рангом матрицы наз. порядок базисного минора. Если матрица нулевая ее ранг равен 0.

• 
  Слайд 43

  Элементарные преобразования матрицы.

  43 1.Умножение ряда на число не равное 0. 2. Перестановка строк или столбцов местами. 3. Прибавление одной строки (или столбца) к другой, умноженной на число.

• 
  Слайд 44
  

  44 4.Отбрасывание одного из двух одинаковых рядов. 5.Отбрасывание нулевого ряда.

• 
  Слайд 45
  

  45 Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований наз. эквивалентными (~).

• 
  Слайд 46

  Ключевые понятия

  46 Матрица, размерность матрицы, операции над матрицами, обратная матрица, ранг, элементарные преобразования матрицы.

• 
  Слайд 47

  Вопросы для самопроверкипо теме «Матрицы»

  47 1. Понятие матрицы. Виды матриц. 2. Невырожденная матрица. 3. Линейные операции над матрицами.

• 
  Слайд 48

  Вопросы для самопроверкипо теме «Матрицы»(продолжение)

  48 Свойства линейных операций над матрицами. Произведение матриц. Свойства.

• 
  Слайд 49
  

  49 6. Необходимое и достаточное условие существования матрицы, обратной данной. 7. Алгоритм нахождения матрицы, обратной данной.

• 
  Слайд 50
  

  50 8. Определители взаимно-обратных матриц. 9. Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

• 
  Слайд 51

  Лекция3.Системы n линейных уравнений с nнеизвестными

  51

• 
  Слайд 52

  Системы линейных уравнений

  52 Решением системыбудем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, … , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

• 
  Слайд 53
  

  53 Решитьсистему— значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая решение, называется совместной.

• 
  Слайд 54
  

  54 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной.

• 
  Слайд 55
  

  55 Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

• 
  Слайд 56
  

  56 Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

• 
  Слайд 57
  

  57 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b1 = b2 =…= bn= 0), называется однородной.

• 
  Слайд 58
  

  58 Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

• 
  Слайд 59
  

  59 Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных , то система называется квадратной.

• 
  Слайд 60
  

  60 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными.

• 
  Слайд 61
  

  61 Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

• 
  Слайд 62

  Метод Крамера

  62 М е т о д К р а м е р а

• 
  Слайд 63

  М е т о д К р а м е р а

  63 Аналогично находят остальные переменные по формулам:

• 
  Слайд 64

  Правило Крамера решения квадратных систем линейных равнений

  64 Если определитель матрицы A не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами: Здесь i – определитель n-го порядка, получающийся из определителя  матрицы A коэффициентов системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

• 
  Слайд 65

  Матричный метод решения систем

  65 Рассмотрим матрицы: Х = А-1·В

• 
  Слайд 66

  Л е к ц и я 4. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и

  66 Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, Необходимо и достаточно, чтобы R(A)=R(B).

• 
  Слайд 67

  Метод Гаусса

  67

• 
  Слайд 68

  Метод Гаусса (продолжение)

  68

• 
  Слайд 69

  Однородные системы

  69

• 
  Слайд 70

  Теорема о совместности однородной системы

  70 Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

• 
  Слайд 71

  Ключевые понятия

  71 Элементарные преобразования над матрицей системы, прямой и обратный ход, однородные системы, фундаментальная система решений.

• 
  Слайд 72
  

  72 Система уравнений, решение, общее решение, частное решение, совместность и несовместность системы, однородная и неоднородная системы.

• 
  Слайд 73

  Вопросы для самопроверки по теме «Системы уравнений»

  73 1. Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы. 2. Матричная форма записи СЛАУ. Решение СЛАУ матричным способом. 3. Правило Крамера.

• 
  Слайд 74

  Вопросы для самопроверки по теме «Системы уравнений»(продолжение)

  74 4.Однородные системы уравнений. 5.Тривиальное решение. 6.Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

• 
  Слайд 75
  

  75 7. Теорема Кронекера - Капелли. 8. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

• 
  Слайд 76

  Л е к ц и я 5. В е к т о р ы.О с н о в н ы е п о н я т и я.

  76 Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. Обозначают векторы символами или , где А- начало, а B-конец направленного отрезка .

• 
  Слайд 77

  В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.( Продолжение)

  77 Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

• 
  Слайд 78

  О с н о в н ы е п о н я т и я(продолжение)

  78 Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем или абсолютной величиной.

• 
  Слайд 79
  

  79 Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых

• 
  Слайд 80

  О с н о в н ы е п о н я т и я (продолжение)

  80 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины.

• 
  Слайд 81

  Линейные операции над векторами

  81 Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

• 
  Слайд 82

  Сложение векторов

  82 Правило треугольника. Правило параллелограмма

• 
  Слайд 83

  Сумма нескольких векторов

  83

• 
  Слайд 84

  Противоположные векторы

  84

• 
  Слайд 85

  Вычитание векторов

  85

• 
  Слайд 86

  Умножение вектора на число

  86 Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1. , 2. при и при .

• 
  Слайд 87
  

  87

• 
  Слайд 88

  Пример

  88 В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N. Пусть , выразить вектор через и . Решение M N

• 
  Слайд 89

  Проекция вектора на ось

  89

• 
  Слайд 90

  Координаты вектора

  90 К о о р д и н а т а м и в е к т о р а н а з ы в а ю т с я е г о п р о е к ц и и н а о с и к о о р д и н а т.

• 
  Слайд 91

  Координатные векторы

  91 Z Y X

• 
  Слайд 92

  Разложение вектора на составляющие

  92 O X Y Z – проекции вектора на оси координат (или координаты вектора )

• 
  Слайд 93

  Ключевые понятия

  93 Вектор, модуль вектора, коллинеарность, компланарность, сложение и вычетание векторов, проекция вектора на ось.

• 
  Слайд 94

  Лекция6.Свойства линейных операций над векторами

  94

• 
  Слайд 95

  Свойства линейных операцийнад векторами(продолжение)

  95

• 
  Слайд 96
  

  96

• 
  Слайд 97

  Свойства линейных операций над векторами(продолжение)

  97

• 
  Слайд 98

  Орт. Орт вектора.

  98 О р т о м н а з ы в а е т с я в е к т о р е д и н и ч н о й д л и н ы. О р т о м в е к т о р а н а з ы в а е т с я с о н а п р а в л е н н ы й е м у о р т.

• 
  Слайд 99

  Единичный вектор

  99 Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор коллинеарный вектору , одинаково с ним направленный , но имеющий длину, равную единице. Будем называть этот вектор ортом данного вектора .

• 
  Слайд 100

  Координаты единичного вектора

  100 - направляющие косинусы вектора где

• 
  Слайд 101

  Пример

  101 Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5). Решение.

• 
  Слайд 102

  Б а з и с

  102 Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

• 
  Слайд 103
  

  103 Базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора , взятых в определенном порядке; базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой.

• 
  Слайд 104

  Разложение вектора по базису

  104 Каждый вектор в пространстве, плоскости или на прямой может быть разложен по базису пространства, плоскости или прямой соответственно, причем это разложение единственно.

• 
  Слайд 105

  Модуль вектора

  105

• 
  Слайд 106

  Коллинеарные векторы

  106 Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

• 
  Слайд 107
  

  107 Обозначение :

• 
  Слайд 108

  Условие коллинеарности векторов

  108 Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

• 
  Слайд 109

  Условие коллинеарности двух векторов (продолжение)

  109 где и

• 
  Слайд 110

  Направляющие косинусы вектора

  110

• 
  Слайд 111
  

  111

• 
  Слайд 112

  Ключевые понятия

  112 Орт, координаты, базис, разложение вектора по базису, направляющие косинусы вектора.

• 
  Слайд 113

  Лекция 7. Деление отрезка в данном отношении.

  113

• 
  Слайд 114

  Скалярное произведение векторов

  114 Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

• 
  Слайд 115
  

  115

• 
  Слайд 116

  Физический смысл скалярного произведения

  116 Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

• 
  Слайд 117
  

  117

• 
  Слайд 118

  Угол между векторами

  118

• 
  Слайд 119

  Проекция вектора на вектор

  119

• 
  Слайд 120

  Свойства скалярного произведения

  120

• 
  Слайд 121

  Свойства скалярного произведения (продолжение)

  121

• 
  Слайд 122
  

  122

• 
  Слайд 123

  Пример

  123 Дан вектор , причем , , угол между векторами и равен Найти модуль вектора Решение Так как и то

• 
  Слайд 124

  Ключевые понятия

  124 Скалярное произведение векторов, физический смысл скалярного произведения, угол между векторами, проекция вектора на вектор.

• 
  Слайд 125

  Лекция8.Векторное произведение векторов

  125 Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается и определяется следующим образом: где – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на Синус угла между ними. Этот вектор перпендикулярен каждому из векторов и образует с ними правую тройку.

• 
  Слайд 126

  Обозначение векторного произведения векторов

  126

• 
  Слайд 127

  Физический смысл векторного произведения

  127 O M

• 
  Слайд 128
  

  128 Если – сила, приложенная к точке М, то момент этой силы относительно точки О равен векторному произведению векторов и .

• 
  Слайд 129

  Понятие «правой» тройки векторов

  129 Тройку векторов называют правой, если направление вектора таково, что, смотря из его конца вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора к вектору будет виден против движения часовой стрелки. - правая тройка

• 
  Слайд 130

  Пример

  130 Найти векторное произведение векторов Решение

• 
  Слайд 131

  Векторные произведения координатных векторов

  131

• 
  Слайд 132

  Площадь параллелограмма

  132

• 
  Слайд 133

  Площадь треугольника

  133

• 
  Слайд 134

  Свойства векторного произведения

  134 или иили или

• 
  Слайд 135
  

  135

• 
  Слайд 136

  Векторное произведение в координатной форме

  136

• 
  Слайд 137

  Пример

  137 Найти если Решение

• 
  Слайд 138

  Ключевые понятия

  138 Векторное произведение векторов, физический смысл векторного произведения, правая и левая тройка векторов.

• 
  Слайд 139

  Лекция 9. Смешанное произведение

  139 Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида :

• 
  Слайд 140

  Смешанное произведение

  140

• 
  Слайд 141

  Компланарные векторы

  141 Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

• 
  Слайд 142

  Условие компланарности трёх векторов

  142 Если компланарны, то Элементами определителя являются координаты векторов

• 
  Слайд 143

  Объём параллелепипеда

  143

• 
  Слайд 144

  Объём тетраэдра

  144

• 
  Слайд 145

  Ключевые понятия

  145 Смешанное произведение векторов , условие компланарности трёх векторов.

• 
  Слайд 146

  Вопросы для самопроверкипо теме «Векторы»

  146 1. Векторные и скалярные величины. 2. Векторы. Основные определения. 3. Равенство векторов. Орт. 4. Линейные операции над векторами.

• 
  Слайд 147

  Вопросы для самопроверкипо теме «Векторы»(продолжение)

  147 5. Линейно зависимые (независимые) векторы. 6. Базис на плоскости и в пространстве. 7. Разложение вектора по базису. 8. Линейные операции над векторами в координатной форме.

• 
  Слайд 148
  

  148 9. Деление отрезка в данном отношении. 10. Направляющие косинусы вектора. 11. Проекция вектора на ось. 12.Угол между вектором и осью.

• 
  Слайд 149
  

  149 13. Скалярное произведение векторов. Свойства. 14. Векторное произведение векторов. 15. Смешанное произведение векторов. 16. Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности.

• 
  Слайд 150

  Прямая на плоскости

  150

• 
  Слайд 151

  Общее уравнение

  151

• 
  Слайд 152

  Уравнение в отрезках

  152

• 
  Слайд 153

  Каноническое уравнение

  153

• 
  Слайд 154

  Уравнение прямой, проходящей через две точки

  154

• 
  Слайд 155

  Параметрические уравнения

  155

• 
  Слайд 156

  С угловым коэффициентом

  156

• 
  Слайд 157

  Угол между двумя прямыми

  157

• 
  Слайд 158

  Расстояние от точки до прямой

  158

• 
  Слайд 159

  Ключевые понятия

  159 Прямая, нормаль, направляющий вектор, угол между двумя прямыми, расстояние от точки до прямой.

• 
  Слайд 160

  Вопросы для самопроверкипо теме «Прямая на плоскости»

  160 1.Различные способы задания прямой на плоскости. 2. Угол между двумя прямыми. 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

• 
  Слайд 161

  Лекция10.Кривые второгопорядка.

  161 Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

• 
  Слайд 162

  Кривые второго порядка.

  162 Уравнение такого вида может определять: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу, пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), точку или не определятьникакой линии.

• 
  Слайд 163

  Эллипс

  163 Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами этого эллипса, есть величина постоянная.

• 
  Слайд 164

  Уравнение эллипса

  164

• 
  Слайд 165

  Эллипс

  165

• 
  Слайд 166

  Определение гиперболы

  166 Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная

• 
  Слайд 167

  Уравнение гиперболы

  167

• 
  Слайд 168

  Гипербола

  168

• 
  Слайд 169

  Лекция11.Определение параболы

  169 Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой .

• 
  Слайд 170

  Ключевые понятия

  170 Парабола, вершина, фокус, директриса , ось параболы.

• 
  Слайд 171

  Уравнение параболы

  171

• 
  Слайд 172

  Парабола

  172

• 
  Слайд 173
  

  173

• 
  Слайд 174

  Ключевые понятия

  174 Эллипс, гипербола, окружность, фокусы, оси, эксцентриситет.

• 
  Слайд 175

  Вопросы для самопроверкипо теме «Кривые второго порядка»

  175 Каноническое уравнения окружности. Каноническое уравнение эллипса. Определение эллипса. 4. Определение гиперболы. 5. Каноническое уравнение гиперболы.

• 
  Слайд 176

  Вопросы для самопроверкипо теме «Кривые второго порядка»(продолжение)

  176 6.Определение параболы. Канонические уравнения параболы. 7. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

• 
  Слайд 177

  Полярные координаты

  177

• 
  Слайд 178

  Лекция12.Плоскость

  178

• 
  Слайд 179

  Общее уравнение

  179

• 
  Слайд 180

  Уравнение в отрезках

  180

• 
  Слайд 181

  Уравнение через три точки

  181

• 
  Слайд 182

  Угол между плоскостями

  182

• 
  Слайд 183

  Условие параллельностиплоскостей

  183

• 
  Слайд 184

  Условие перпендикулярности плоскостей

  184

• 
  Слайд 185

  Расстояние от точки доплоскости

  185

• 
  Слайд 186

  Ключевые понятия

  186 Плоскость, угол между плоскостями, параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей.

• 
  Слайд 187

  Вопросы для самопроверкипо теме «Плоскость»

  187 1.Общее уравнение плоскости. Частные случаи. 2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

• 
  Слайд 188

  Лекция13.Прямая в пространстве

  188

• 
  Слайд 189

  Параметрические уравнения

  189

• 
  Слайд 190

  Уравнение прямой, проходящейчерез две точки

  190

• 
  Слайд 191

  Общие уравнения прямой

  191

• 
  Слайд 192

  Угол между прямыми

  192

• 
  Слайд 193

  Параллельность прямых

  193 Если то

• 
  Слайд 194

  Перпендикулярность прямых

  194 Если то

• 
  Слайд 195

  Угол между прямой и плоскостью

  195

• 
  Слайд 196

  Условие параллельности прямой и плоскости

  196 Если то

• 
  Слайд 197

  Условие перпендикулярностипрямой и плоскости

  197 Если

• 
  Слайд 198

  Ключевые понятия

  198 Прямая в пространстве, угол между прямыми в пространстве, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, угол между прямой и плоскостью.

• 
  Слайд 199

  Вопросы для самопроверкипо теме «Прямая в пространстве»

  199 1. Прямая в пространстве. Способы задания. 2. Угол между двумя прямыми. 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 4. Взаимное расположение прямой и плоскости.

• 
  Слайд 200

  Лекция14.Поверхности второго порядка. Эллипсоид.

  200

• 
  Слайд 201

  Цилиндрические поверхности

  201 Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линиюL и параллельных данной прямой . Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой , ее образующей.

• 
  Слайд 202
  

  202 Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости, то уравнение такой поверхности совпадает с уравнением направляющейL, то есть содержит только две переменных.

• 
  Слайд 203
  

  203 Эллиптический цилиндр

• 
  Слайд 204

  Конические поверхности

  204 Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, - ее образующей.

• 
  Слайд 205

  Конус

  205

• 
  Слайд 206
  

  206

• 
  Слайд 207

  Однополостный гиперболоид

  207

• 
  Слайд 208
  

  208 Однополостный гиперболоид

• 
  Слайд 209

  Двуполостный гиперболоид

  209

• 
  Слайд 210
  

  210 Двуполостной гиперболоид

• 
  Слайд 211

  Эллиптический параболоид

  211

• 
  Слайд 212
  

  212 Эллиптический параболоид

• 
  Слайд 213

  Гиперболический параболоид

  213

• 
  Слайд 214

  Ключевые понятия

  214 Поверхность, эллипсоид, конус, цилиндр, виды цилиндров, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, параболоид.

• 
  Слайд 215

  Вопросы для самопроверки по теме «Поверхности второго порядка»

  215 1. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения. 2. Общее уравнение поверхности второго порядка и его приведение к каноническому виду.

• 
  Слайд 216

  Лекция15.

  216 Некоторые кривые

• 
  Слайд 217
  

  217 Полукубическая парабола

• 
  Слайд 218
  

  218 Кривая Гаусса

• 
  Слайд 219
  

  219 Декартов лист или

• 
  Слайд 220
  

  220 Циссоида Диоклеса или

• 
  Слайд 221
  

  221 Лемниската Бернулли

• 
  Слайд 222
  

  222 Циклоида

• 
  Слайд 223
  

  223 Гипоциклоида (астроида) или

• 
  Слайд 224
  

  224

• 
  Слайд 225

  Ключевые понятия

  225 Замечательные кривые, кривая Гаусса, Декартов лист, циссоида Диоклеса, лемниската Бернулли, циклоида, астроида, кардиоида.

• 
  Слайд 226

  Лекция16.Комплексные числа.

  226 Комплексным числом z называется число вида x+iy, где x и y–вещественные числа.

• 
  Слайд 227

  Комплексные числа (продолжение)

  227 называется алгебраической формой записи комплексного числа.

• 
  Слайд 228
  

  228 Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: x=Rez, y=Imz.

• 
  Слайд 229
  

  229 Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если y=0 , то получается вещественное число z=x +0i. Два комплексных числа и называются сопряженными.

• 
  Слайд 230
  

  230 Два комплексных числа и равны друг другу, если и ; комплексное число z считается равным нулю, если x=y=0.

• 
  Слайд 231
  

  231 Всякое комплексное число можно изобразить точкой на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел (x;y).

• 
  Слайд 232

  Модуль комплексного числа

  232 Число называется модулем комплексного числа и обозначается .

• 
  Слайд 233

  Тригонометрическая форма комплексного числа.

  233

• 
  Слайд 234

  Действия над комплексными числами

  234

• 
  Слайд 235

  Действия над комплексными числами(продолжение)

  235

• 
  Слайд 236
  

  236

• 
  Слайд 237
  

  237

• 
  Слайд 238

  Формулы Муавра

  238

• 
  Слайд 239

  Ключевые понятия

  239 Мнимая единица, комплексное число, действительная и мнимая части комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

• 
  Слайд 240

  Вопросы для самопроверки потеме «Комплексные числа»

  240 1. Формы записи комплексного числа. 2. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

• 
  Слайд 241
  

  241 3. Модуль и сопряженное комплексного числа и их свойства. 4. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.

• 
  Слайд 242

  Вопросы для самопроверки потеме «Комплексные числа»(продолжение)

  242 5. Извлечение корня из комплексного числа. 6. Основная теорема алгебры. 7. Геометрическое изображение комплексного числа.

• 
  Слайд 243

  Основная литература

  243 1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2006. 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2005, ч.1.

• 
  Слайд 244

  Основная литература

  244 3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2007. 4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Изд. 3 – 11. Гостехиздат, 1955 – 1957. – М.: Наука, 1964 – 1971.

• 
  Слайд 245

  Дополнительная литература

  245 1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит, 2005. 2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 2006.

• 
  Слайд 246

  Дополнительная литература

  246 3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2004. 4.Л.Я.Дубинина,Л.С.Никулина,И.В.Пивоварова.Курс лекций по высшей математике.Ч.1.-В.: ВГУЭС,2002.

• 
  Слайд 247

  Использование материалов презентации

  247 Использование данной презентации возможно только при условии соблюдения требования законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности ,а также с учётом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью автора. Разрешается распечатывать любую часть презентации для личного некоммерческого использования, но не допускается её использование с какой-нибудь иной целью. Не разрешается вносить изменения в любую часть презентации.