Презентация на тему "Метод Гаусса решения систем линейных уравнений"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

• 
  Слайд 2
  

  Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

• 
  Слайд 3
  

  Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

• 
  Слайд 4
  
• 
  Слайд 5

  Теорема Кронекера–Капелли

  Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

• 
  Слайд 6
  

  Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

• 
  Слайд 7
  

  Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

• 
  Слайд 8

  Пример

  Исследовать систему линейных уравнений

• 
  Слайд 9
  

  Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

• 
  Слайд 10

  Метод Гаусса

  Для того чтобы решить систему уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули.

• 
  Слайд 11
  

  Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

• 
  Слайд 12
  

  С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

• 
  Слайд 13
  

  Установить совместность и решить систему

• 
  Слайд 14
  

  Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

• 
  Слайд 15

  Прямой ход

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17

  Обратный ход

  Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно. Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

• 
  Слайд 18
  
• 
  Слайд 19
  

  Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим Таким образом, имеем решение системы

• 
  Слайд 20

  Общее решение системы линейных уравнений

  Если ранг матрицы равен , то любой отличный от нуля минор порядка этой матрицы называется базисным.

• 
  Слайд 21

  Пример

  Решить систему уравнений

• 
  Слайд 22
  

  Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

• 
  Слайд 23

  Однородные системы

• 
  Слайд 24

  Теорема о совместности однородной системы

  Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

• 
  Слайд 25
  

  При r

• 
  Слайд 26

  Пример

• 
  Слайд 27
  

  Составим матрицу системы и методом элементарных преобразований найдем ее ранг.

• 
  Слайд 28
  

  r=2.

• 
  Слайд 29
  

  Выберем в качестве базисного минор Тогда укороченная система имеет вид

• 
  Слайд 30
  

  Общее решение системы

• 
  Слайд 31

  Фундаментальная система решений

  Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

• 
  Слайд 32
  

  Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в виде

• 
  Слайд 33
  

  Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему решений. , Общее решение можно записать в виде