Презентация на тему "«Метод математической индукции»"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Презентация по математике на тему:

  «Метод математической индукции» Выполнила Кондратьева Анастасия 10 класс

• 
  Слайд 2

  В основе математического исследования лежит

  Дедуктивный метод Индуктивный метод

• 
  Слайд 3

  Дедуктивный метод

  Дедуктивный метод – это рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным – частный результат.

• 
  Слайд 4

  Индуктивный метод

  Индуктивный метод – рассуждение, при котором, опираясь на ряд частных результатов приходят к одному общему выводу.

• 
  Слайд 5

  Пример рассуждения по индукции

  Требуется установить, что каждое четное число в пределах от 4 до 100 можно представить в виде суммы двух простых чисел. Для этого переберем все интересующие нас числа и выпишем соответствующие суммы:

• 
  Слайд 6
  

  4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=5+5; ...; 92=3+89; 94=5+89; 96=7+89; 98=9+89; 100=3+97. Эти 49 равенств (мы выписали только 9 из них) показывают, что утверждение о том, что любое четное число от 4 до100 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верно и было доказано путем перебора всех частных случаев.

• 
  Слайд 7
  

  Это был пример полной индукции, когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов при рассмотрении каждого из этих элементов. Но чаще общее утверждение относится не к конечному, а к бесконечному множеству. В таких случаях общее утверждение может быть угаданным, полученным неполной индукцией. Оно может оказаться верным или неверным.

• 
  Слайд 8

  Пример 1

  Выдвинем гипотезу, что сумма первых n нечетных чисел равна n2. Рассмотрим на примерах:1=12; 1+3=4=22 ; …; 1+3+5+7+9+11=36=62 Гипотеза подтвердилась, однако она останется гипотезой, пока не будет доказана. Доказательство: 1+2+5+…+(2n-1) – сумма n членов арифметической прогрессии, значит, Sn=  

• 
  Слайд 9

  Пример 2

  Рассмотрим последовательность Выпишем первые четыре члена:19; y2 =23; y3 = 29; y4 = 37. Возникает гипотеза, что вся последовательность состоит из простых чисел. Однако это не так: У16 =162 +16 +17=16(16+1)+17= 17(16+1)= 17×17. Это составное число.  

• 
  Слайд 10
  

  Итак, неполная индукция не считается в математике методом строгого доказательства, т.к. может привести к ошибке. Во многих случаях, когда доказательство найти трудно, обращаются к особому методу рассуждений, который называется методом математической индукции.

• 
  Слайд 11

  Метод математической индукции

  Суть метода можно разъяснить на примере. Рассмотрим арифметическую прогрессию а1 , а2 , а3 , … аn , … . По определению значит, ;  

• 
  Слайд 12
  

  Нетрудно догадаться, что для любого номера nсправедливо равенство Утверждение выведено нами интуитивно, попробуем обосновать его. Если n=1, то а1=а1 + (1-1)d – верное равенство, то есть утверждение для n=1 верно. Предположим, что утверждение верно для натурального числа n=k, т.е. предположим, что ak=а1+(k-1)d. И попробуем доказать, что утверждение верно для n=k+1, т.е. ak+1=а1+kd В самом деле по определению арифметической прогрессии ak+1=ak+d=(а1+(k-1)d)+d=а1+kd  

• 
  Слайд 13
  

  Для n=1 утверждение верно. Мы оказали, что если для n=kэта формула верна, то и для n=k+1 формула тоже верна. Но т.к. формула верна для n=1, то она верна и для n=2, а значит и для n=3 и т.д. т.е формулаверна для любого натурального числа n. Утверждение доказано.  

• 
  Слайд 14

  Составляющие метода математической индукции

  Пусть нужно доказать справедливость А(n), где n – любое натуральное число. Для этого сначала проверим справедливость А(n) для n=1(базис математической индукции). Затем докажем, что для любого натурального числа k справедливо следующее: если А(k) – справедливо, то А(k+1), тоже справедливо(индукционный шаг). Делаем вывод, что А(n) справедливо для любого n.

• 
  Слайд 15

  Принцип математической индукции:

  Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены следующие условия: А)утверждение верно для n=1; Б)из справедливости утверждения для n=k, где k – любое натуральное число, вытекает справедливость утверждения и для следующего натурального числа n=k+1