Презентация на тему "Множество. Операции над множествами"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 4. Тема: Множество. Операции над множествами. Цель: Рассмотреть понятие множества, подмножества, пустого, универсального множества. Определить основные операции на множествами.

• 
  Слайд 2

  Введение в теорию множеств1. Основные определения, терминология

  Под множествомА мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение Указанием определяющего свойства Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

• 
  Слайд 3
  

  Определение 1 Множество А называется подмножествомВ, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 1 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а); б) и.

• 
  Слайд 4
  

  Определение 2 Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания Пример Указать равные множества A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0},E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.

• 
  Слайд 5
  

  Определение 3 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: .

• 
  Слайд 6
  

  2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А и В называется множество Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}. A B

• 
  Слайд 7

  Объединение множеств

  Теорема 1 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) – идемпотентность объединения; б)  – коммутативность объединения; в)  – ассоциативность объединения; г); д)

• 
  Слайд 8

  Пересечение множеств

  Определение 2 Пересечением множеств А и В называется множество Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда A B

• 
  Слайд 9
  

  Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) - идемпотентность пересечения; б) - коммутативность пересечения; в) - ассоциативность пересечения; г)

• 
  Слайд 10

  Объединение и пересечение множеств

  Теорема 3 1) 2) 3) 4)

• 
  Слайд 11
  

  Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 3 Разностью множеств A и B называется множество . Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}. A B

• 
  Слайд 12

  Разность множеств

  Теорема 4 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: 1) 2) 3) 4) Теорема 5 (законы Моргана) а) б)

• 
  Слайд 13
  

  Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

• 
  Слайд 14

  Дополнение множеств

  Определение 4 Пусть U – универсальное множество. ДополнениемА в U (или просто дополнениемА) называется множество . Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то  – множество иррациональныхчисел A

• 
  Слайд 15
  

  1) 2) 3) Законы Моргана для дополнений а); б) .

• 
  Слайд 16

  Симметрическая разность

  Определение 5 Симметрической разностью множеств A и B называют множество Задача (3 балла). Доказать, что A B

• 
  Слайд 17
  

  Вопросы: 1) Приведите пример множества, состоящего из 3 элементов. Опишите это множество свойством. 2) Перечислите все подмножества указанного множества. Чему равно их пересечение?

• 
  Слайд 18
  

  18 Лекция 5. Тема:Вычисление множеств. Выражение множеств через данные. Цель: Овладеть навыками вычисления множеств и выражения множеств через данные. Вопросы: Чему равно объединение и пересечение пустого и универсального множеств? Выразить множество 1;4 через данные: А = 1;3;5 В = 2;5;4;6 U = 1;2;3;4;5;6;7;8 С = 1;2;3;7

• 
  Слайд 19
  

  19 Лекция 6. Тема: Размещения. Цель: Рассмотреть формулы для числа размещений без повторений и с повторениями. Вопросы: Является ли перестановка – размещением? Сравнить выражения А и А 3 7 7 3

• 
  Слайд 20
  

  20 Лекция 7. Тема: Сочетания. Цель: Разобрать формулы для числа сочетаний с повтором и без повтора. Освоить их применение при решении задач. Вопросы: Сравнить выражения Си А Вычислить С k n n k 8 2

• 
  Слайд 21
  

  21 Лекция 8. Тема: Случайное событие. Вероятность события. Цель: Разобрать понятия опыта случайного события, вероятности. Обсудить условия применения классической формулы вероятности. Вопросы: Ответить на вопрос слайда №5. Можно ли в задаче 3 (слайд №12) случай А и А объединить в один и применить классическую формулу? Почему? 1 4

• 
  Слайд 22
  

  22 Лекция 9. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: Рассмотреть события и действия над ними на языке теории множеств. Разобрать теоремы сложения и умножения вероятностей. Вопросы: Чему равно произведение противоположных событий? Описать множество элементарных событий для последнего примера.

• 
  Слайд 23
  

  23 Лекция 10. Тема: Решение задач по классической формуле для подсчета вероятностей. Цель: Привить навыки применения классической формулы вероятности. Вопросы: Каким условиям должны удовлетворять события, чтобы допустимо было применить классическую формулу вероятности. Найти вероятность, угадать задуманное двузначное число с первого раза.

• 
  Слайд 24
  

  24 Лекция 11. Тема: Решение задач с использованием теорем сложений и умножения вероятностей. Цель: Вопросы:

• 
  Слайд 25
  

  25 Лекция 12. Тема: Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Цель: Разъяснить формулу полной вероятности и как следствие из неё – формулу Бейеса. Вопросы: Каким условиям должны отвечать гипотезы Ндля события А? В примере 2 (слайд №13) найти вероятность того, что ошибся 2 студент? i

• 
  Слайд 26
  

  26 Лекция 13. Тема: Решение задач с использованием формулы полной вероятности и формулы Бейеса. Цель: Овладеть навыками решения задач по формулам полной вероятности и формуле Бейеса. Вопросы: Чему равна сумма вероятностей гипотез Ндля события А? Чему равна сумма гипотез события А? i

• 
  Слайд 27
  

  27 Лекция 14. Тема: Повторение опытов. Формула Бернулли. Цель: Ознакомиться с формулой Бернулли и приближенными формулами в схеме Бернулли. Вопросы: Укажите условия применения формулы Бернулли.

• 
  Слайд 28
  

  28 Лекция 0. Тема: Метод математической индукции. Цель: Научиться применять ММИ при доказательстве утверждений, свойств. Вопросы: Перечислить основные этапы доказательства ММИ. Слайд №11.

• 
  Слайд 29
  

  29 Лекция 6. Тема: Основные принципы комбинаторики. Цель: Ознакомиться с основными принципами комбинаторики. Вопросы: Перечислите основные принципы комбинаторики. Сколькими способами могут совершить обмен 1 диска два студента, если у одного 7 дисков, а у другого 5?