Презентация на тему "Моделирование на кубе - проектная работа по стереометрии" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Исследование модели многогранника с сечениями проектная работа по геометрии учитель математики Меркулова Т.И. на примере куба ГОУ СОШ № 2088 Москва

• 
  Слайд 2
  

  ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ Вариант 22 Совместите три вида. Опишите этапы построения. На полученной модели найдите суммарную площадь сечения, приняв сторону куба за a. Найдите площадь поверхности всей модели. Выполните развертку полученной детали при а = 6 см и развертку удаленной части. Предложите два своих варианта сечений куба тремя различными плоскостями. Рассчитайте углы между плоскостями сечений: Используя построение плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей сечений Используя теорему косинусов для трехгранного угла. Поместив модель в систему координат, составьте уравнение плоскости для каждого из сечений. Составьте уравнения прямых, получившихся в результате пересечения данных плоскостей. Докажите, что все три прямые пересекаются в одной точке. Рассчитайте углы между плоскостями сечений: Используя метод координат Сопоставьте результаты расчетов в п.п. 5а,б и 9а. Сделайте выводы. Вычислите объемы исходных геометрических тел, приняв сторону куба за a. «Разбив» построенную модель на простейшие геометрические тела найдите объем данной модели. «Разбив» построенную модель на пирамиды, найдите объем модели, используя «Метод координат». Сделайте вывод о преимуществах и недостатках применении методов п.п. 13 и 14 для данной модели.

• 
  Слайд 3
  

  Содержание Построение изображения Построение сечений Построение развертки куба со сложным сечением Построение изображения удаленной части Построение развертки удаленной части Вычисление площадей Вычисление объемов Вычисление углом между плоскостями Задания по теме «Метод координат» Уравнения плоскостей Вычисление углов между плоскостям Уравнения прямых Варианты заданий Тренировочные задания

• 
  Слайд 4
  

  Построение изображения

• 
  Слайд 5
  

  Построение изображения

• 
  Слайд 6
  

  Построение линий пересечения плоскостей Пересечение плоскостей попарно Построение изображения

• 
  Слайд 7
  

  Пересечение плоскостей попарно Совмещение всех изображений Построение изображения

• 
  Слайд 8
  

  Построение сечений

• 
  Слайд 9
  

  Построение развертки

• 
  Слайд 10
  

  Построение изображения удаленной части

• 
  Слайд 11
  

  Построение развертки удаленной части

• 
  Слайд 12
  

  S1 S3 S4 S5 S6 S1 = S2 E KPM1~ M1P1C KP = 2CP1 EM1=2/3PC S2 S2=1/2a2 - S KPM1 S1=S2=1/2a2 – 1/2·a·2/3a = 1/6a2 S3=S4=a2 S5 = a2 – 1/4a2 = 3/4a2 S6 = a2 – 1/2·1/2a·1/2a = 7/8a2 S1+S2+S3+S4+S5+S6 = 1/6a2+1/6a2+a2+a2+3/4a2+7/8a2 SΣ=323/24·a2 Площадь поверхности

• 
  Слайд 13
  

  D1K = KC1; DP = PC => (KP) || (C1C) => Δ KM1H ~ Δ M1P1C KP = 2P1C => KM1 = 2 M1C = 2/3KC KC2 = KP2 + PC2 => KC = (a2 + (a/2)2)1/2 = a√5/2 KC = a√5/2 KM1 = a√5/3 Рассмотрим сечение плоскостью ВКС. [ВО) ∩ [СК) = М2 BK1|| CK; K1O = OK;/ К1ОВ = / М2ОК => Δ К1ОВ = Δ М2ОК => М2К = К1В К1М1 ∩ ВО = Т; Δ К1ТВ ~ Δ ТМ2М1; К1В/М1М2 = КС/( КС + 2/3КС) = 3/5 => | Т; (К1В)| = 3/8ВС и | Т; (СК)| = 5/8ВС = 5/8a SТОКМ1 = SΔТМ2М1 – SΔОМ2К М2М1= 5/3КС = 5a√5/6; SΔТМ2М1 = 1/2М2М1· | Т; (СК)| = 1/2·5a√5/6·5/8a = 25a2√5/96 SΔОМ2К = 1/2·ОК ·КМ2 = 1/2 ·1/2a ·a√5/2 = a2√5/8 SТОКМ1 = 25a2√5/96 - a2√5/8= 13a2√5/96 SMHOT = SТОКМ1= 13a2√5/96 Площади сечений

• 
  Слайд 14
  

  Рассмотрим сечение куба плоскостью (FPP1) BD2 = BA2 + AD2 => BD = a√2 FP - средняялиняя Δ ADC; AD ∩ FP = G => BG = 3/4BD = 3a√2/4; B1G1 = 1/4BD = a√2/4; ΔG1OT ~ ΔBTG; G1O = BG/3; TG = 3TG1 = 3/4G1G GG1 = (DD12+(D1B1/2)2)1/2 = a√6/2 [F1F) ∩ [P1P) = O1 ΔF1P1O1 ~ΔMM1O1; M1P1=1/2M1P=1/3P1P O1P = PP1 => MM1:F1P1 = O1M1: O1P1=5:6 MM1= 5/6F1P1 = 5/6BD = 5a√2/6 O1T = 3/4GG1 + O1G = (3/4 + 1/2)GG1 = 5/4·a√6/2 = 5a√6/8 SMTM1PF = SMTM1 + SMM1PF = 1/2N1T·MM1 + 1/2·(MM1+ FP)·N1G = = 1/2·(1/4+1/6)·G1G·MM1 + 1/2·(MM1+ FP)·1/3·G1G = = 1/2·5/12· a√6/2·5a√2/6+1/2·(5a√2/6+ a√2/2)·1/3·a√6/2 SMTM1PF =47a2√3/144 На полученной модели найдите суммарную площадь сечений, приняв сторону куба за a.

• 
  Слайд 15
  

  Вычисление объема Разбиение на многогранники

• 
  Слайд 16
  

  Вычисление объема V1 = SAA1H·AB = 1/2·a·a/2·a = a3/4 V2 = 1/3·SOH1C1K·B1B = 1/3·a/2·a/2·a = a3/12 BC ┴ (KCC1) => V3 = 1/3· SKC1C·BC = = 1/3 ·1/2 ·a ·a/2 ·a = a3/12 SA3BC3 = 1/2·BA3·BC3 = 1/2·3a/2·3a/2 = 9a2/8 HA3BC3 = |T; (ABC)| = 3a/4 SA3AF = SPCC3 = 1/2·AA3·AF = 1/2·a/2·a/2 = a2/8 HA3AF = |M; (ABC)| = a/3 VA3BC3 = 1/3·SA3BC3 ·HA3BC3 = 1/3·9a2/8·3a/4 = 9a3/32 VA3AF = 1/3·SA3AF ·HA3AF =1/3·a2/8·a/3 = a3/72 V4 = VA3BC3 –2·VA3AF = 9a3/32 – 2· a3/72 = 73a3/288 V = V1 + V2 + V3 + V4 = a3/4 + a3/12 + a3/12 + 73a3/288 V =193a3/288

• 
  Слайд 17
  

  Вычисление углов между плоскостями Сечения 1-3 «Построение плоскости, перпендикулярной общему ребру» K1B = H1B; K1O = H1O; OB – общая => ΔК1ОВ = ΔН1ОВ; K1V┴OB =>Н1V┴OB => (К1VH1) ┴OB => / К1VH1 = β ; Cos β = (К1V2+ Н1V2 – K1H12)/(2·К1V· Н1V) K1V=Н1V К1О ┴ (B1BA) => К1О ┴K1B => К1V= К1О·K1B/OB = a/2·a√5/2/(( a/2)2+( a√5/2)2)1/2=a√30/12 Cos β = (2К1V2– K1H12)/(2·К1V2) = – 1/5 Угол между плоскостями лежит в диапазоне [0º; 90º] => Cos β = 1/5 «Трехгранный угол» / К1ОВ = α; / Н1ОВ = β; / К1ОH1=γ = 90º; δ – угол при ребре ОВ Cos γ = Cos α· Cos β + Sin α · Sin β · Cos δ K1B = H1B; K1O = H1O; OB – общая => ΔК1ОВ = ΔН1ОВ => α = β; Cos γ = 0 => Cos δ = – ctg2α = – (К1О/К1B)2 = –(1/√5)2 = – 1/5 => Cos δ = 1/5

• 
  Слайд 18
  

  Составьте уравнение плоскости для каждого сечения «Метод координат» Сечение 1: А(k; 0; 0); B(0; 0; 0); H(k; k/2; k) Ax + By + Cz + D = 0 (*): B: A·0 + B·0 + C·0 + D = 0 (1) => D = 0 =>(3) A: Ak +B·0 + C·0 + D = 0 (2) => A = 0 =>(3) H: Ak +Bk/2 + Ck + D = 0 (3) => C = – B/2 => (*) By – B/2·z = 0 => 2y – z = 0 => n1 (0; 2; -1) Сечение 2: F(k; k/2; 0); P(k/2; k; 0); H1(0; k/2; k) F: A·k + B·k/2 + C·0 + D = 0 (4) P: A·k/2 + B·k + C·0 + D = 0 (5) H1: A·0 + B·k/2 + C·k + D = 0 (6) (4) – (5): A·k/2 – B·k/2 = 0 => A=B => (4) => 3B·k/2 = –D => B = –2D/(3k) =>(6; *) => –D/3 + C·k + D = 0 => C = –2D/(3k) => (*) => –2D/(3k)·x –2D/(3k)·y –2D/(3k)·z + D = 0 => 2x + 2y + 2z – 3 = 0 =>n2 (2; 2; 2)

• 
  Слайд 19
  

  Вычислите углы между плоскостями «Метод координат» n1 (0; 2; -1); n2 (2; 2; 2);n3 (2; 0; -1) | n1| = | n3| = √(02 + 22 + 12) = √5 | n2| = √(22 + 22 + 22) = 2√3 α – угол между плоскостями 1-2; β – угол между плоскостями 1-3 γ – угол между плоскостями 2-3 Cos α=n1 · n2 = 0·2 + 2·2 – 1·2 = 1/√15 = Cos γ | n1| ·| n2| √5· 2√3 Cos β= n1 · n3= 0·2 + 2·0 – 1·(–1)= 1/5 | n1| ·| n3| √5· √5 α = γ = arccos(1/√15) β = arccos(1/5)

• 
  Слайд 20
  

  «Метод координат» Составьте уравнения прямых, получившихся в результате пересечения плоскостей Прямая МН1: xM = k; yM = 1/3·AF = 1/3·1/2·k = k/6; zM = 2/3·1/2·k = k/3 => M(k; k/6; k/3) H1(0; k/2; k) =>MH1(–k; k/3;2k/3) Уравнение прямой: x – 0=y – k/2=z – k –k k/32k/3 Прямая М1K1:K1(k/2; 0; k) xM1 = k/6; yM1 = k; zM1 = k/3 => M1(k/6; k; k/3) => M1K1(k/3; –k; 2k/3) Уравнение прямой:x – k/2=y – 0=z – k k/3 – k 2k/3 Прямая ОВ: О(k/2; k/2; k) ; B (0; 0; 0) BO(k/2; k/2; k) Уравнение прямой: x – k/2=y – k/2=z –k k/2 k/2 k

• 
  Слайд 21
  

  Варианты заданий

• 
  Слайд 22
  

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сечения куба различными плоскостями Какие многоугольники получаются в результате сечения куба плоскостями? Сколько на рисунке различных сечений? Найдите одинаковые сечения.

• 
  Слайд 23
  

  Верно ли построены сечения? Ответ обоснуйте. 3 4 5 6 2 1 Сечения куба различными плоскостями

• 
  Слайд 24
  

  1 2 3 4 5 6 Сечения куба различными плоскостями Равны ли площади сечений фигур 1 и 2? Какая часть куба изображена на каждом из рисунков? Можно ли утверждать, что на рис.4 изображен ромб? Квадрат? Почему? Определите вид треугольника на рис.6 Может ли в результате сечения куба плоскостью получиться пятиугольник? Семиугольник?

• 
  Слайд 25