Презентация на тему "Определение вектора в пространстве"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Векторы в пространстве

  вход 5klass.net

• 
  Слайд 2

  Содержание

  I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи Проверь себя Об авторе Помощь в управлении презентацией Выход

• 
  Слайд 3

  Понятие вектора в пространстве

  Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора– длина отрезка AB. А В M

• 
  Слайд 4

  Коллинеарные векторы

  Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

• 
  Слайд 5

  Сонаправленные векторы

  Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы

• 
  Слайд 6

  Равные векторы

  Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

• 
  Слайд 7

  Противоположно направленные векторы

  Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы

• 
  Слайд 8

  Противоположные векторы

  Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

• 
  Слайд 9

  Признак коллинеарности

  Доказательство

• 
  Слайд 10

  Доказательство признака коллинеарности

• 
  Слайд 11

  Определение компланарных векторов

  Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A1 B1 C1 D1

• 
  Слайд 12

  О компланарных векторах

  Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если

• 
  Слайд 13

  Признак компланарности

  Доказательство Задачи

• 
  Слайд 14

  Задачи на компланарность

  Компланарны ли векторы: а) б) СправкаРешение Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) СправкаРешение

• 
  Слайд 15

  Решение

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17
  
• 
  Слайд 18

  Доказательство признака компланарности

  С O A1 B1 B A

• 
  Слайд 19

  Свойство компланарных векторов

• 
  Слайд 20

  Действия с векторами

  Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

• 
  Слайд 21

  Сложение векторов

  Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения

• 
  Слайд 22

  Правило треугольника

  А B C

• 
  Слайд 23
  

  А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

• 
  Слайд 24

  Правило параллелограмма

  А B C

• 
  Слайд 25

  Свойства сложения

• 
  Слайд 26

  Правило многоугольника

  Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример

• 
  Слайд 27

  Пример

  C A B D A1 B1 C1 D1

• 
  Слайд 28

  Правило параллелепипеда

  B А C D A1 B1 C1 D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

• 
  Слайд 29

  Свойства

  B А C D A1 B1 C1 D1

• 
  Слайд 30

  Вычитание векторов

  Вычитание Сложение с противоположным

• 
  Слайд 31

  Вычитание

  Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

• 
  Слайд 32
  

  B A Правило трех точек C

• 
  Слайд 33

  Правило трех точек

  Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K

• 
  Слайд 34

  Сложение с противоположным

  Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору . А B O

• 
  Слайд 35

  Умножение вектора на число

• 
  Слайд 36

  Свойства

  Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

• 
  Слайд 37
  
• 
  Слайд 38

  Скалярное произведение

  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведенияв координатах Свойства скалярного произведения

• 
  Слайд 39

  Справедливые утверждения

  скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

• 
  Слайд 40

  Вычисление скалярного произведения в координатах

  Доказательство

• 
  Слайд 41

  Доказательство формулы скалярного произведения

  O A B α O B A O B A

• 
  Слайд 42
  
• 
  Слайд 43

  Свойства скалярного произведения

  10. 20. 30. 40. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)

• 
  Слайд 44

  Разложение вектора

  По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам

• 
  Слайд 45

  Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

  Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

• 
  Слайд 46

  Доказательство теоремы

  O A A1 B P Пусть коллинеарен . Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и .

• 
  Слайд 47
  

  не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим О – произвольную точку.

• 
  Слайд 48
  

  Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

• 
  Слайд 49

  Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

  Если вектор pпредставлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

• 
  Слайд 50

  Доказательство теоремы

  С O A B P1 P2 P

• 
  Слайд 51
  

  Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

• 
  Слайд 52

  Базисные задачи

  Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

• 
  Слайд 53

  Вектор, проведенный в середину отрезка,

  С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

• 
  Слайд 54

  Доказательство

  С A B O

• 
  Слайд 55

  Вектор, проведенный в точку отрезка

  С A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.

• 
  Слайд 56

  Доказательство

  С A B O m n

• 
  Слайд 57

  Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

  С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

• 
  Слайд 58

  Доказательство

  С A B D M N

• 
  Слайд 59

  Вектор, проведенный в центроид треугольника,

  Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.

• 
  Слайд 60

  Доказательство

  С O A B M K

• 
  Слайд 61

  Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

  A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

• 
  Слайд 62

  Доказательство

  A B C D O M

• 
  Слайд 63

  Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

  C A B D A1 B1 C1 D1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

• 
  Слайд 64

  Доказательство

  C A B D A1 B1 C1 D1

• 
  Слайд 65

  Помощь в управлении презентацией

  управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход переход к следующему слайду возврат к содержанию возврат к подтеме возврат с гиперссылок

• 
  Слайд 66

  Проверь себя

  Устные вопросы Задача 1.Задача на доказательство Задача 2. Разложение векторов Задача 3. Сложение и вычитание векторов Задача 4. Скалярное произведение

• 
  Слайд 67

  Устные вопросы

  Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены? в) любые два равных вектора коллинеарны? г) любые два сонаправленных вектора равны? д) е) существуют векторы , и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны? Ответы

• 
  Слайд 68

  Ответы

  а) ДА б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными) в) ДА г) НЕТ (могут иметь разную длину) д) ДА е) ДА

• 
  Слайд 69

  Задача 1. Задача на доказательство

  B А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2 Решение

• 
  Слайд 70

  Решение

  B А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2

• 
  Слайд 71

  Задача 2. Разложение векторов

  Разложите вектор по , и : а) б) в) г) Решение A B C D N

• 
  Слайд 72

  Решение

  а) б) в) г)

• 
  Слайд 73

  Задача 3. Сложение и вычитание

  Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение

• 
  Слайд 74

  Решение

  а) б) в) г) д) е)

• 
  Слайд 75

  Задача 4. Скалярное произведение

  Вычислить скалярное произведение векторов: C A B D A1 B1 C1 D1 Решение

• 
  Слайд 76
  

  C A B D A1 B1 C1 D1 O1 Вычислить скалярное произведение векторов: Решение

• 
  Слайд 77

  Решение

• 
  Слайд 78
  
• 
  Слайд 79
  

  C A B D A1 B1 C1 D1 O1

• 
  Слайд 80

  Об авторе

  Презентация выполнена ученицей 11 «Б» класса средней школы №316 Фрунзенского района с углубленным изучением английского языка Силичевой Алисой. Огромная благодарностьвыражается руководителю проекта Подольской Анастасии Васильевне.