Презентация на тему "Основные правила дифференцирования"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  8.3. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Производная функции может быть найдена по схеме: Дадимаргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy=f(x+Δx) 1

• 
  Слайд 2
  

  Находим приращение функции Δy=f(x+Δx)-f(x) 2 3 Составляем отношение: 4 Находим

• 
  Слайд 3
  

  ПРИМЕР. Найдем производную функции Дадим аргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy: 1 2 Находим приращение функции

• 
  Слайд 4
  

  3 Составляем отношение

• 
  Слайд 5
  

  Находим 4 Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции Можно показать, что в общем случае

• 
  Слайд 6
  

  производная степенной функции

• 
  Слайд 7
  

  ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 1 Производная постоянной величины равна 0: 2 Производная аргумента равна 1:

• 
  Слайд 8
  

  3 Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

• 
  Слайд 9
  

  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть u=u(x) и v=v(x) -дифференцируемые функции. Найдем производную функции y=u + v. Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0, тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.

• 
  Слайд 10
  

  Находим приращение функции Составляем отношение Находимпредел этого отношения:

• 
  Слайд 11
  

  4 Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

• 
  Слайд 12
  

  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть u=u(x) и v=v(x) -дифференцируемые функции. Найдем производную функции y=uv. Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0, тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.

• 
  Слайд 13
  

  Находим приращение функции Составляем отношение

• 
  Слайд 14
  

  Находимпредел этого отношения: Имеем по определению производной:

• 
  Слайд 15
  

  Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

• 
  Слайд 16
  

  5 Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:

• 
  Слайд 17
  

  ПРИМЕРЫ. 1 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.

• 
  Слайд 18
  

  Решение. Находим значение производной в точке х=1:

• 
  Слайд 19
  

  2 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.

• 
  Слайд 20
  

  Решение. Находим значение производной в точке х=1:

• 
  Слайд 21
  

  3 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.

• 
  Слайд 22
  

  Решение. Находим значение производной в точке х=1: