Содержание
-
Основы логики
Алгебра высказываний
Автор: Сергеев Евгений Викторович МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области
-
Алгебра высказываний
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание
-
Логические переменные
- Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
- Обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C…
- Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
-
Например, два простых высказывания:
А = «2 2 = 4» истина (1)
В = «2 2 = 5» ложь (0)
являются логическими переменными А и В
-
В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
-
В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания
-
Составные высказывания
Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями
Обозначаются F(A,B,C…)
Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними
-
Логические операции
- Конъюнкция(логическое умножение, «И»)
- Дизъюнкция(логическое сложение, «ИЛИ»)
- Инверсия(логическое отрицание, «НЕ»)
- Импликация(логическое следование, «Если А, то В»)
- Эквивалентность(логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В»)
-
Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией
-
Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные
-
Конъюнкция. Определите истинность логической функции
«2 2 = 5» И «3 3 = 10»
«2 2 = 5» И «3 3 = 9»
«2 2 = 4» И «3 3 = 10»
«2 2 = 4» И «3 3 = 9»
Истинна только функция (4)
-
Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A & B
или
F(A,B) = A B
Также может встретиться запись, типа:
F(A,B) = A * B
или
F(A,B) = A and B
-
Значение логической функции определяется по ее таблице истинности
Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных
-
Таблица истинности для конъюнкции
-
-
Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией
-
Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных
-
Дизъюнкция. Определите истинность логической функции
«2 2 = 5» ИЛИ «3 3 = 10»
«2 2 = 5» ИЛИ «3 3 = 9»
«2 2 = 4» ИЛИ «3 3 = 10»
«2 2 = 4» ИЛИ «3 3 = 9»
Ложна только функция (1), остальные истинны
-
Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A B
Также может встретиться запись, типа:
F(A,B) = A + B
или
F(A,B) = A or B
-
Таблица истинности для дизъюнкции
-
-
Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией
-
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным [логическая отрицательная единица, перевертыш]
-
Инверсия
Пусть
A = «2 2 = 4» – истинное высказывание, тогда
F(A) =«2 2 ≠ 4» – ложное высказывание
-
Запись инверсии на формальном языке алгебры высказываний
F(A) = ¬A
или
F(A) = Ā
Также может встретиться запись, типа:
F(A) = not А
-
Таблица истинности для инверсии
-
Таблицы истинности основных логических функций
- Логическое умножение
- Логическое сложение
- Логическое отрицание
-
Дополнительные логические функции
Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, поэтому их называют дополнительными логическими функциями:
Импликация:
А→В= ¬A В или
АВ= ¬A В или
АВ= ¬A В
Эквивалентность:
А↔В=(¬A В) (¬B A) или
АВ=(¬A В) (¬B A) или
А≡В=(¬A В) (¬B A)
-
Импликация
Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)
-
Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно
Пример:
Если выучишь материал, то сдашь зачет
Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой
-
Таблица истинности для импликации
-
Эквивалентность
Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истиннымтогда и только тогда, когдаоба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
-
Таблица истинности для эквивалентности
-
Переместительный
Дизъюнкция:
X Y ≡ YX
Конъюнкция:
X Y ≡ Y X
Основные законы алгебры высказываний
-
Сочетательный
Дизъюнкция:
X (Y Z) ≡ (X Y) Z
Конъюнкция:
X (Y Z) ≡ (X Y) Z
Основные законы алгебры высказываний
-
Распределительный
Дизъюнкция:
X (Y Z) ≡ X Y X Z
Конъюнкция:
X (Y Z) ≡ (X Y) (X Z)
Основные законы алгебры высказываний
-
Правила де Моргана
Дизъюнкция:
¬(X Y) ≡ ¬X¬Y
Конъюнкция:
¬(X Y) ≡ ¬X¬Y
Основные законы алгебры высказываний
-
Идемпотенции
Дизъюнкция:
X X ≡ X
Конъюнкция:
X X ≡ X
Основные законы алгебры высказываний
-
Поглощения
Дизъюнкция:
X (X Y) ≡ X
Конъюнкция:
X (X Y) ≡ X
Основные законы алгебры высказываний
-
Склеивания
Дизъюнкция:
(X Y) (¬X Y) ≡ Y
Конъюнкция:
(X Y) (¬X Y) ≡ Y
Основные законы алгебры высказываний
-
Переменная со своей инверсией
Дизъюнкция:
X ¬X ≡ 1
Конъюнкция:
X ¬X ≡ 0
Основные законы алгебры высказываний
-
Операция с константами
Дизъюнкция:
X 0 ≡ X, X 1 ≡ 1
Конъюнкция:
X 0 ≡ 0, X 1 ≡ X
Основные законы алгебры высказываний
-
Двойного отрицания
¬(¬X) ≡ X
Основные законы алгебры высказываний
-
Порядок действий
- Действия в скобках
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквивалентность
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.