Презентация на тему "Подобные треугольники" 8 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Подобные треугольники

  Повторение к ОГЭ

• 
  Слайд 2

  Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

  Признаки подобия треугольников: 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному (почему)? А Е С В К

• 
  Слайд 3
  

  А В С Д О Доказать: Δ ВОС ~Δ АОД в а а//в

• 
  Слайд 4
  

  А В С О Найти: СО; ОВ Д 10 8 6 5

• 
  Слайд 5
  

  D Найти: х А В С 6 4 Р К 9 х

• 
  Слайд 6
  

  А В С Д Доказать: 4 5 6 12 15 18 Р Е М К АКР~ СМЕ

• 
  Слайд 7
  

  Даны два подобных треугольника. Стороны одного из них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны. 2. В треугольнике АВС проведены две высоты АК и ВМ.1) Докажите, что Δ АКС ~Δ ВМС.2) Найдите высоту ВМ, если АК = 18, СМ = 4, СК = 6. А С М В К

• 
  Слайд 8
  

  Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK : KA=2:3, KM=14.

  Решение: Треугольники АВС и КВМ подобны: угол В - общий, углы ВАС и ВКМ равны как соответственные при параллельных прямых АС и КМ и секущей АВ), поэтому КМ:АС= ВК:ВА. Т.к. ВК : КА = 2 : 3, то ВК : ВА = 2 : 5. Имеем, АС=КМ * ВА : ВК, АС=14 * 5 : 2 = 35 Ответ:35. А М К С В 14

• 
  Слайд 9
  

  Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9. Решение: Треугольники  MBN и ABCподобны по первому признаку подобия., так как 1) у треугольников MBN и ABC угол В – общий 2)  в силу параллельности прямых MN и AC  соответственные углы BMN и BAC равны. Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон: Обозначим NC за x . Соответственно, BN = 6 – x,  согласно условию. Тогда . Тогда CN =

• 
  Слайд 10
  

  Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. А D С В Решение: Углы СВД и ВДА равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД. Стороны ВС и ВД в Δ ВСД пропорциональны сторонам ВД и АД в Δ АВД соответственно, т.к.ВС : ВД = 5 : 10 = 0,5 и ВД : АД = 10 : 20 = 0,5. Значит, эти треугольники подобны (по второму признаку).

• 
  Слайд 11

  Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

  Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

• 
  Слайд 12
  

  1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла А, параллельны (М и К лежат на одной стороне угла). Найдите площадь треугольника АМО, если известно, что площадь треугольника АКН равна 48 см2, АМ = 4 см, МК = 2 см. А Н О М К

• 
  Слайд 13
  

  2). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 30.   3). Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников. Ответ: 24; 8,64; 15,36. 

• 
  Слайд 14
  

  4). Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга. Ответ: 65 План решения: Найдите подобные треугольники и докажите их подобие Запишите отношение сходственных сторон Выполните необходимые вычисления Запишите ответ

• 
  Слайд 15
  

  (№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB =16, DC = 24, AC = 25. (№26) Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции? (№26) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

• 
  Слайд 16

  Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

  Треугольники АОD и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия k = АО : СО А О С В D

• 
  Слайд 17
  

  Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K, причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD. Найдите основание AD, если BC = 12 см. А К D С В РЕШЕНИЕ: Треугольники ВКС и АКD подобны по двум углам. По условию ВК – треть ВD, тогда ВК : КD = 1 : 2, значит ВС : АD = 1 : 2, значит АD = 24. Ответ: 24 см.

• 
  Слайд 18

  Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

  Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

• 
  Слайд 19
  

  В треугольнике АВСDЕ – средняя линия. Площадь треугольника СDЕ равна 45. Найдите площадь треугольника АВС. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28. А Е D С В А С В Н

• 
  Слайд 20

  Задачи практического содержания Определение высоты предмета.

  Задание 17 № 132764. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Решение. Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB. Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть высота фонаря равна х м , тогда ,откуда  Поэтому фонарь расположен на высоте 5,1 м.  Ответ: 5,1.

• 
  Слайд 21
  

  Задание 17 № 314914. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

  Решение: Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEB и СDE, они имеют общий угол Е и, следовательно, подобны по двум углам. Значит,  , откуда  

• 
  Слайд 22
  

  (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

  Дано: BO=2 м, OC=6 м, AB=0,5 м. Найти: СD Решение: Треугольники АВО и DСО подобны (по двум углам), АВ : СD = ВО : ОС, СD=АВ*ОС : ВО, СD=0,5*6:2=1,5 (м). Ответ: 1,5 А О В D С

• 
  Слайд 23
  

  (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? (№17) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

• 
  Слайд 24
  

  (№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Решение (1 способ) Заметим, что высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней линии, искомое расстояние в два раза больше первоначального экрана: 250·2 = 500. Ответ: 500.

• 
  Слайд 25
  

  (№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Решение (2 способ) По условию FG=160 см, DE=80 см, СН=250 см. Найти: СК. Δ СFG ~ΔCDE (признак?), поэтому СН : СК = DE : FG. СК = СН * FG : DЕ СН=250*160 : 80 = 500 Ответ: 500. С H F K G E D

• 
  Слайд 26
  

  Стр.357 Задача 25. Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и МDA подобны. РЕШЕНИЕ. 1. По свойству углов вписанного четырёхугольника (п.75 ) сумма противоположных углов 4-угольника равна 180 ⁰ . 2. Пусть

• 
  Слайд 27
  

  Стр.357,356. ЗАДАЧА 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС ∆ АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=16, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС. РЕШЕНИЕ. 1. ∆АКР∞∆АВС (см.предыдущую задачу) по двум углам.

• 
  Слайд 28
  

  Стр. 361 Задача25.В ∆ АВС с тупым

• 
  Слайд 29
  

  РЕШЕНИЕ: (2 способ). 1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные:

• 
  Слайд 30
  

  1. АМ и ВК – перпендикуляры к прямой a, точки М и К – основания перпендикуляров. АК ∩ ВМ = О. Найдите АМ и МК, если МО = 6, ВО = 4, ВК = 6. 2. В треугольнике ОВС проведен отрезок МК, параллельный стороне ВС. Найдите отношение площадей треугольника ОМК и трапеции МВСК, если ОМ = 4, МВ = 12. 3. В треугольнике МРК сторона МК равна 12. Биссектриса МА делит сторону РК на отрезки АК = 8, АР = 10. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону МР биссектриса КВ. Приложение

• 
  Слайд 31
  

  Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно.  Найдите AC, если BK:KA=1:5, KM=17. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28. Приложение

• 
  Слайд 32

  Приложение

  Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=12. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=10, AC=40.

• 
  Слайд 33
  

  Задачи на готовых чертежах

• 
  Слайд 34
  

  1 2 3 Признаки подобия треугольников Литература

• 
  Слайд 35
  

  1 2 3 4 6 7 Первый признак подобия треугольников 5 8 9 10

• 
  Слайд 36
  

  А В С Д О Доказать: Δ ВОС ~Δ АОД Задача 1 в а а//в

• 
  Слайд 37
  

  А В С Д Доказать: Δ АВС~Δ АДЕ Задача 2 Е

• 
  Слайд 38
  

  А В С E Доказать: Δ АFE ~Δ СMK Задача 3 Д F М К

• 
  Слайд 39
  

  А С Д Доказать: AДE FCE Задача 4 E F В ~

• 
  Слайд 40
  

  А D В C Доказать: АВC~ВDС Задача 5

• 
  Слайд 41
  

  1 2 А Д С О В Доказать: АО/СО Задача 6

• 
  Слайд 42
  

  А В С О Найти: СО; ОВ Задача 7 Д 10 8 6 5

• 
  Слайд 43
  

  1 А В С Найти: ВС Задача 8 Д 9 6 К Е

• 
  Слайд 44
  

  А В C Д О Доказать: АОД ~ СОВ Задача 9

• 
  Слайд 45
  

  К Д С В А Найти: подобные треугольники Задача 10

• 
  Слайд 46
  

  1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 Второй признак подобия треугольников 11

• 
  Слайд 47
  

  А В С Д О Доказать: Д= С Задача 1 10 20 17 34 К

• 
  Слайд 48
  

  А В С О Найти: ВО: ДЕ Задача 2 Д К 22 11 14 7 Е

• 
  Слайд 49
  

  А Д С В Доказать: РОД ~ ЕОС Задача 3 Е О 4 12 3 9 Р

• 
  Слайд 50
  

  Р А В С Д К Найти: х Задача 4 6 9 4 х

• 
  Слайд 51
  

  К Д С В А 8 5 4 6 Найти: КВ Задача 5 10

• 
  Слайд 52
  

  В Найти: АС А С Д Задача 6 4 2 5 6 15 К

• 
  Слайд 53
  

  Найти: ВС А С В Д О 3 21 4 Задача 7

• 
  Слайд 54
  

  А K С В Найти подобные треугольники Задача 8

• 
  Слайд 55
  

  А В С О К Р Найти подобные треугольники Задача 9

• 
  Слайд 56
  

  А В С Д Найти: подобные треугольники О Задача 10 К Е

• 
  Слайд 57
  

  Д О В С Найти: ДС Задача 11 24 15 14

• 
  Слайд 58
  

  Третий признак подобия треугольников 1 2 3 4

• 
  Слайд 59
  

  А В С Д Доказать: Задача 1 4 5 6 12 15 18 Р Е М К АКР~ СМЕ

• 
  Слайд 60
  

  А Д В С Доказать: Δ АВC ~ΔPRQ Задача 2 Q R Р

• 
  Слайд 61
  

  А К Д В Р S Доказать: Р = К Задача 3 7 21 15 9 3 5

• 
  Слайд 62
  

  А В К Н 7в 6с 5а 40 80 Найти: М и В Задача 4 М 10a 12с 14в С

• 
  Слайд 63
  

  Список литературы 1.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.- М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил. 2. Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, 2000.-271 с.: ил. 3. Рабинович Е.М. Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с. 4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: ВАКО,2008.-368 с.

• 
  Слайд 64

  Спасибо за внимание!