Презентация на тему "«Подобные треугольники» 8 класс"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Подобные треугольники Приготовили ученицы 8 а Исламова Вероника, Платова Валерия, Хамидуллина Алина, Козлова Екатерина, Селезнева Елена. 5klass.net

• 
  Слайд 2
  

  Оглавление Определение подобных треугольников Признаки подобия треугольников Применение подобия к доказательству теорем и задач Соотнашение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

• 
  Слайд 3
  

  1.1. Пропорциональные отрезки. 1.2. Определение подобных треугольников 1.3. Отношение площадей подобных треугольников. 1.4. Свойства подобия. Определение подобных треугольников

• 
  Слайд 4

  1.1 Пропорциональные отрезки.

  Отношением отрезков ABи CD называется отношение их длин, т. е. Говорят, что отрезки ABиCD пропорциональны отрезкам A1B1иC1D1, если ПРИМЕР №1. Отрезки ABи CD, длины которых равны 2 см и 1см,пропорциональны отрезкам A1B1иC1D1,отрезки которых равны 3см и 1,5см. В самом деле,

• 
  Слайд 5

  1.2. Определение подобных треугольников.

  В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных треугольников.

• 
  Слайд 6
  

  ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. Две фигуры F1 и F2 называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны. Подобные фигуры F1 и F2.

• 
  Слайд 7
  

  Задача№1. Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1соответственно равны:A=A1, B= B1,C= C1. В этом случае стороныAB иA1B1, BCиB1C1, CA иC1A1называются сходными.

• 
  Слайд 8
  

  А B C А1 B1 C1 AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1- сходственные стороны

• 
  Слайд 9
  

  Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A1B1C1 так, что A=A1, B= B1,C= C1, Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

• 
  Слайд 10
  

  Подобие треугольников ABC и A1B1C1обозначается так : Нажмите сюда и увидите подобные треугольники

• 
  Слайд 11

  1.3. Отношение площадей подобных треугольников.

  Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то

• 
  Слайд 12
  

  По формулам имеем: поэтому Теорема доказана.

• 
  Слайд 13

  Свойства подобия.

  Задача №2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника Решение. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому 1 2 A H B D C

• 
  Слайд 14
  

  С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу( A= A1), поэтому Из двух равенств для отношений площадей получаем , или Что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 15
  

  Признаки подобия треугольников Первый признак Второй признак Третий признак

• 
  Слайд 16
  

  Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Первый признак А= А1 В= В1 АВС А1В1С1

• 
  Слайд 17
  

  Доказательство: По теореме о сумме углов: С = 1800 - А - В, а С1 = 1800 - - А 1- В1 ,значит С= С1. Так как А= А1 и С= С1, то и От этого следует: Получается, что сходственные стороны пропорциональны. Дано: АВС и А1В1С1 А= А1 В= В1 Доказать: АВС А1В1С1 Первый признак А С В А1 В1 С1

• 
  Слайд 18
  

  Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Второй признак АВС А1В1С1

• 
  Слайд 19
  

  АВС2 А1В1С1(по первому признаку) ,значит , с другой стороны ,из этих равенств получается АС= =АС2. АВС= АВС2 -по двум сторонам и углу между ними (АВ-общая сторона, АС=АС2 и ,т.к. и ).Значит и , то АВС А1В1С1 Дано: АВС и А1В1С1 Второй признак Д-ть: Доказательство: Рассмотрим АВС2, у которого и

• 
  Слайд 20
  

  Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобные. Третий признак АВС А1В1С1

• 
  Слайд 21
  

  Доказательство: Рассмотрим АВС2, у которого и . Третий признак Дано: АВС и А1В1С1 Д-ть: АВС А1В1С1 АВС2 А1В1С1(по первому признаку) ,значит и АВС= АВС2 значит , а так как , то Значит АВС А1В1С1

• 
  Слайд 22
  

  Применение подобия к доказательству теорем и задач Средняя линия треугольника Медианы в треугольнике Высота в треугольнике Среднее пропорциональное Следствие 1 Следствие 2

• 
  Слайд 23
  

  Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Средняя линия треугольника

• 
  Слайд 24
  

  Дано: АВС МN – средняя линия Доказать: МN //АС и MN=1/2AC Средняя линия треугольника Доказательство: ВМN и ВАС – подобны, так как В – общий BM:ВА=ВN:BC=1:2 Значит ВMN = BAC и MN/АС = 1/2 То MN//АС и MN = ½ Теорема доказана.

• 
  Слайд 25
  

  Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую меридиану в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы в треугольнике Дано: АВС т.О – пересечение медиан ВВ1 и АА1 Доказать:

• 
  Слайд 26
  

  Доказательство: А1В1 – средняя линия, и А1В1//АВ, поэтому и Значит АОВ А1ОВ1(по двум углам),то Но АВ=А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Значит точка О- пересечение медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка О – пересечение медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Значит точка О – пересечения медиан АА1, ВВ1и СС1 делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы в треугольнике

• 
  Слайд 27
  

  Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному. Высота в треугольнике Н В С А Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: АВС АСН АВС СВН АСН СВН

• 
  Слайд 28
  

  Доказательство: АВС АСН(по двум углам: А- как общий и прямым), АВС ВСН(по двум углам: В- общий и прямыми), Рассмотрим АСН и ВСН – прямоугольные 1) угол АНС = углу СНВ – прямые углы 2) угол А = углу ВСН Значит АСН ВСН. Высота в треугольнике

• 
  Слайд 29
  

  Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СД, если Среднее пропорциональное

• 
  Слайд 30
  

  Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Следствие 1 С Н А В Доказательство: АНС СВН, поэтому Следовательно СН2=АН*НВ Значит

• 
  Слайд 31
  

  Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Следствие 2 С В Н Доказательство: АВС АСН(по двум углам), поэтому Значит А

• 
  Слайд 32
  

  Соотнашение между сторонами и углами прямоугольного треугольника Синус Косинус Тангенс Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. Котангенс Основные тригонометрические тождества.

• 
  Слайд 33
  

  Синус Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А С В

• 
  Слайд 34
  

  А В С Косинус Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

• 
  Слайд 35
  

  А В С Тангенс Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

• 
  Слайд 36
  

  А В С Котангенс Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

• 
  Слайд 37
  

  А В С Основные тригонометрические тождества.

• 
  Слайд 38
  

  А В С Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. АВС – прям. Т.к. в с а

• 
  Слайд 39
  

  А В С Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. АВС – прям. в с а а=1 с=2 По теореме Пифагора :

• 
  Слайд 40
  

  А В С Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. в с а

• 
  Слайд 41
  

  А В С Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов. в с а

• 
  Слайд 42
  

  Конец