Презентация на тему "Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Алгебра и начала анализа, 11 класс

  Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл. Воробьев Леонид Альбертович , г.Минск – формула Ньютона-Лейбница

• 
  Слайд 2
  

  H xk Xk-1 Вычисление площади сечения реки. Δх Sk g(xk) – глубина в точке xk Если разбить ширину реки Hна n равных частей, то при n: Sk=Δx∙g(xk) x0 xn Последнее выражение в равенстве и есть бесконечная интегральная сумма.

• 
  Слайд 3
  

  Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

• 
  Слайд 4
  

  H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H]. Sсеч. Примечание. ∑ – так сокращенно обозначают знак суммы.

• 
  Слайд 5
  

  x H x[0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте самостоятельно объяснить данный примери вывод окончательной формулыобъёма прямоугольного параллелепипеда (для проверки ☺): Vпр.пар.=(S1+S2+…+Sn)∙Δx=n∙Sосн.∙ = Sосн.∙H Объем прямоугольного параллелепипеда равен бесконечной интегральной сумме площадей сечения (равных площади основания) на промежутке [0; H] (взятых вдоль высоты).

• 
  Слайд 6
  

  x y x y x y x y Понятие о криволинейной трапеции. а b y=f(x) а b а b а b y=f(x) y=f(x) y=f(x)

• 
  Слайд 7
  

  x1 x y a b 0 x2 x0= x3 =xn y=f(x) … Δx Вычисление площади криволинейной трапеции методом “правых” прямоугольников: S1 S2 S3 Sn

• 
  Слайд 8
  

  x y a b 0 Δx Вычисление площади криволинейной трапеции методом “левых” прямоугольников: x1 x3 x2 y=f(x) x0= =xn … S1 S2 S3 Sn

• 
  Слайд 9
  

  x y 0 Δx Ещё более точное приближение даёт метод “трапеций”: y=f(x) a x1 x3 x2 x0= … b =xn S1 S2 S3 Sn

• 
  Слайд 10
  

  x y b 0 x2 x1 x3 =xn … Чем больше значение n, тем меньше погрешность приближенного значения: y=f(x) a x0=

• 
  Слайд 11
  

  x y b 0 =xn При n  Δx0и каждый прямоугольник «вырождается» в отрезок, длина которого равна значению функции (или его модулю, если значения функции отрицательные). y=f(x) a x0= Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна бесконечной интегральной сумме значений данной функции на промежутке [a; b]. Δx

• 
  Слайд 12
  

  В приведенном выше примере мы находили площадь криволинейной трапеции с помощью понятия бесконечной интегральной суммы значений данной функцииf(x) на отрезке [a; b]. В математике принята более короткая запись этого понятия – интеграл (∫), т.е. Примечание. Обратите внимание, что знак интеграла напоминает стилизованную букву S, что естественно из геометрического смысла этого понятия. Читают: интеграл от a до bэф от икс дэ икс. Число aназывают нижним пределом интегрирования, b– верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x– переменной интегрирования. Если Вы владеете понятием предела (lim), то можно дать следующее определение интеграла: , где xn[a; b].

• 
  Слайд 13
  

  x+Δx x y 0 x y=f(x) Докажем теперь, что S'(x)=f(x). Заметим, что S(a)=0, S(b)=S. ΔS Δx b a x+Δx x Возьмём теперь прямоугольник такой же площади ΔS, опирающийся на отрезок [x; x+Δx]. c В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой c[x; x+Δx]. Высота прямоугольника равна f(c). По формуле площади прямоугольника имеем: S(x) При Δx0  с xиf(c)  f(x), т.е. или S'(x)=f(x). Выберем произвольный аргумент x[a; b]. S(a) S(b)

• 
  Слайд 14
  

  Важно!!!понимать, что значение интеграла может получиться отрицательным (если, например, на заданном промежутке значения функции отрицательны). Вы уже знакомы с понятием первообрáзной функции. Доказанное нами утверждение S'(x)=f(x) в силу основного свойства первообразных для всех x[a;b] означает, что: S(x)=F(x)+C, где С – некоторая постоянная, аF – одна из первообразных для функцииf(x). Для нахождения С подставимx=a: F(a)+C=S(a)=0 F(a)=–C. Следовательно, S(x)=F(x) –F(a). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b)=S, подставляя x=b, получим: S=S(b)=F(b) – F(a)=

• 
  Слайд 15
  

  Пример 1. Пример 2. Отметим некоторые свойства интеграла (объясните их с помощью учителя): , если f(x) – нечётная функция , если f(x) – чётная функция Применение этих свойств часто упрощает вычисление интегралов. , где c[a; b] , где c

• 
  Слайд 16
  

  Пример 3. Найти значение интеграла:. Решение.