Презентация на тему "Презентация на тему - Производная второго порядка, выпуклости, точки перегиба. (11 класс)"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

  ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина Давтян Римма Артемовна

• 
  Слайд 2

  Содержание

  Производные второго порядка Вогнутость, выпуклости и точки перегиба

• 
  Слайд 3
  

  Касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ', проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М' неограниченно приближается по кривой к первой. Рис. 1 Определение: Понятие касательной

• 
  Слайд 4
  

  Общее определение производной Производной функции у = f(х) называетсяпредел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует Определение: Найти производную функции у = х2 = (х + )2 (х2)' = 2х

• 
  Слайд 5
  

  Смысл производной Физический Геометрический Например касательной к графику функции y=f (x) в точке, абсцисса которой равна x. Если функция описывает какой-либо физический процесс,то есть скорость протекания этого процесса. Точка движется прямолинейно по закону.Найти скорость движения в момент времени t=3 Уравнение касательной к кривой в точке А(1;2) y=kx+b k=2*1=2 2=2*1+b b=0 y=2x

• 
  Слайд 6
  

  Если у = f(z)и z=(x)— дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции у по промежуточному аргументу z, умноженной на производную самого промежуточного аргумента г по независимой переменной х, т. е. Производная сложной функции ТЕОРЕМА: Например

• 
  Слайд 7
  

  Производная обратной функции ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Доказательство. Пусть у = f(х) Например y=arctg x x=tg x обратная для y

• 
  Слайд 8
  

  Если y как функция от x задается соотношением F(x, y)=0, где F(x, y)-выражение, содержащее x и y, то y называется неявной функции от x. Производная неявной функции Определение: Алгоритм нахождения производных заданных функций в неявном виде. 1) Находим производную от левой части равенства F(x, y)=0, рассматривая y как функцию от x и приравниваем ее к нулю. 2) Решаем полученное уравнение относительно y, в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде y=f(x) Пример.Найти

• 
  Слайд 9
  

  Производная функции, заданнойпараметрически Если функция у от аргумента х задана параметрически и где функциии дифференцируемы и, то производная этой функции есть ТЕОРЕМА: Например

• 
  Слайд 10
  

  Понятие о производных высших порядков Производная f '(х) от функции f (х) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Может случиться, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной и обозначается так: f "(х). Итак, Пример 1)Пусть y = sin x Тогда имеем последовательно 2)Пусть Найти:

• 
  Слайд 11
  

  График дифференцируемой функции у = f(х) называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке (а, b), если соответствующая часть кривой расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке М(х, f(x)). Аналогично, график дифференцируемой функции у = f(х) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (а, b), если соответствующая часть кривой расположена ниже касательной, проведенной к любой ее точке М(х, f(х)) Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба Определение: Определение: Точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f(х) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот

• 
  Слайд 12
  

  Если для дважды дифференцируемой функции y = f(х) вторая ее производная f "(х) положительна внутри промежутка (а,b), то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке. ТЕОРЕМА: Доказательство: Пусть f "(х) > 0 при а

• 
  Слайд 13
  

  Достаточные условия вогнутости (выпуклости) графика функции. Теорема:Если же вторая производная f"(х) отрицательна внутри промежутка (а, b), то график функции у = f(х) вогнут вниз в этом промежутке. Доказательство: Аналогично доказывается, что если f "(x)