Презентация на тему "Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные"

Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Презентация для школьников на тему "Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные" по математике. pptCloud.ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

Содержание

  • Слайд 1

    Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

    Автор: Жагалкович Полина Сергеевна Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10 Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

  • Слайд 2

    Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

  • Слайд 3

    Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

    Пример 1. Доказать что для любого хϵR Доказательство. 1 способ. 2 способ. для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х. дляхϵR дляхϵR дляхϵR т. к.

  • Слайд 4

     

    для любых действительных х и у Пример 2. Доказать, что для любых x и y Доказательство. Пример 3. Доказать, что Доказательство. Пример 4. Доказать, что для любых a и b Доказательство.

  • Слайд 5

    2. Метод от противного

    Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, bϵR. Доказательство. Предположим, что . Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.

  • Слайд 6

     

    Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения: , что является обоснованием исходного неравенства.

  • Слайд 7

     

    Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

  • Слайд 8

    Использование свойств квадратного трехчлена

    дляхϵR дляхϵR Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если и . Пример 6. Доказать, что Доказательство. Пусть , a=2, 2>0 =>

  • Слайд 9

     

    дляхϵR Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х: , а>0, D<0 D= => P(x)>0 и верно при любых действительных значениях хи у.

  • Слайд 10

     

    Пример 8. Доказать, что для любых действительных значениях х и у. Доказательство. Пусть , Это означает, что для любых действительных у и неравенство выполняется при любых действительных хи у. дляхϵR

  • Слайд 11

    Метод введения новых переменных или метод подстановки

    Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , , . Получаем исследуемое неравенство

  • Слайд 12

    Использование свойств функций.

    для аϵR Пример 10. Докажем неравенство для любых а и b. Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ( )>0, что доказывает неравенство

  • Слайд 13

     

    Пример 11. Докажем, что для любых Доказательство. на R. Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

  • Слайд 14

    Применение метода математической индукции

    Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12. Доказать,что для любого nϵN Проверим истинность утверждения при - (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)

  • Слайд 15

     

    *3 3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и : , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

  • Слайд 16

    Использование замечательных неравенств

    Теорема о средних (неравенство Коши) Неравенство Коши – Буняковского Неравенство Бернулли Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

  • Слайд 17

    Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

    Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

  • Слайд 18

     

    Пусть n=2, , , тогда Пусть n=2, a>0, тогда Пусть n=3, , , , тогда Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,cвыполняется неравенство Доказательство.

  • Слайд 19

    Неравенство Коши - Буняковского

    Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

  • Слайд 20

     

    Пример 14. Доказать, что для любых a,b,cϵ R справедливо неравенство Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде: Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,cϵ R справедливо неравенство Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.  

  • Слайд 21

    Неравенство Бернулли

    Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

  • Слайд 22

     

    Пример 16. Доказать,что для любых n ϵ N Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения , получим требуемое неравенство. Пример 17. Доказать,что для любых n ϵ N Доказательство. по теореме Бернулли, что и требовалось.

  • Слайд 23

    Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

Посмотреть все слайды
Презентация будет доступна через 45 секунд