Презентация на тему "Производная функции. Геометрический смысл производной"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Производная функции. Геометрический смысл производной.

• 
  Слайд 2
  

  Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

• 
  Слайд 3
  

  Производная — это скорость изменения функции.

• 
  Слайд 4
  

  На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

• 
  Слайд 5
  

  Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года: Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

• 
  Слайд 6
  

  Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?  На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

• 
  Слайд 7
  

  Нарисован график некоторой функции  . Возьмем на нем точку    с абсциссой  . Проведём в этой точке касательную к графику функции.  Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

• 
  Слайд 8
  

  В качестве угла наклона мы берем угол между касательной иположительным направлением оси OX

• 
  Слайд 9
  

  Проходящую через точку (x0;f (x0;)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к х0, называют касательной к графику функции f в точке (х0; f (х0)).

• 
  Слайд 10
  

  Найдем k=tgα С помощью графика мы нашли производную, не зная формулы функции. (В 8)

• 
  Слайд 11
  

  Производная функции в точке     равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.  Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной.

• 
  Слайд 12
  

  У одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции. На одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. Кроме того у этой функции есть точки максимума и минимума.

• 
  Слайд 13
  

  В точке А функция возрастает. Касательная образует острый угол с положительным направлением оси ОХ. Значит производная положительна. В точке В функция убывает. Касательная образует тупой угол с положительным направлением оси ОХ. Значит производная отрицательна. Если функция возрастает – ее производная положительна, если убывает, то отрицательна.

• 
  Слайд 14
  

  В точках  максимумаи  минимумакасательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю. Точка  C— точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке   с «плюса» на «минус». В точке  D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16
  

  Возможен случай, когда производная в какой-то точке равна нулю, но в этой точке она не меняет знак. В точке Е нет ни максимума, ниминимума. Это точка перегиба.

• 
  Слайд 17
  

  В точке Е – точке максимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.