Презентация на тему "Решение алгебраических уравнений"

Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Презентация для школьников на тему "Решение алгебраических уравнений" по математике. pptCloud.ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

Содержание

  • Слайд 1

    Решение алгебраических уравнений

    Выполнил: Нелюбин Алексей 9 «В» класс Школа№3 г. Свирск pptcloud.ru

  • Слайд 2

    Определение алгебраического уравнения

  • Слайд 3

    Кубические уравнения.

    Формула Кардано х= +

  • Слайд 4

    Пример:

  • Слайд 5

    Способы и методы решения уравнений.

    * Разложение на множители. Вынесение общего множителя за скобку Применение формул сокращённого умножения Способ группировки * Замена переменной Биквадратное уравнение Понижение степени уравнения Уравнение вида Возвратное уравнение * Метод деления на многочлен, содержащий переменную * Метод выделения полного квадрата

  • Слайд 6

    Задачи с параметрами

    Пример1 Пример2

  • Слайд 7

    Заключение

    Рассмотрев в своейработе достаточно примеров уравнений, я пришёл к выводу, что предпочтительней решать некоторые уравнения нетрадиционным способом, так как вычисления при этом получаются намного проще. Все эти способы я описал выше, применяя их можно решить большинство алгебраических уравнений.

  • Слайд 8

     

  • Слайд 9

     

  • Слайд 10

     

  • Слайд 11

     

  • Слайд 12

     

  • Слайд 13

     

  • Слайд 14

     

  • Слайд 15

     

  • Слайд 16

     

    Найти значение с, при котором корнем уравнения 3(х-4)-5(х+2)=сх-6 является число 6. Решение: 3х-12-5х-10-сх+6=0 Сгруппируем слагаемые относительно х -2х-сх-16=0 Подставим х =6 -12-6с-16=0 -6с=28 с=-14/3 Ответ: При с=-14/3 корнем данного уравнения является число 6.

  • Слайд 17

     

    Для каждого значения параметра а решить уравнение:

Посмотреть все слайды

Конспект

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3»

 

 

«В мир поиска,

В мир творчества,

В мир науки»

...

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3»

 

 

«В мир поиска,

В мир творчества,

В мир науки»

 

ТЕМА: «Решение алгебраических уравнений»

 

 

 

 

 

 

АВТОР: Нелюбин Алексей

9 «В» класс

 

 

РУКОВОДИТЕЛЬ: Черниговская

Татьяна Анатольевна, учитель математики

 

 

 

 

 

 

Иркутская область

г. Свирск

 

Содержание

Вступление……………………………………………………3

Основная часть.

Определение алгебраического уравнения…………………5

Линейное уравнение…………………………………………..5

Квадратное уравнение…………………………………..........6

Теорема Виета для квадратного уравнения…8

Кубическое уравнение…………………………………………9

Формула Кардано……………………………...9

Теорема Виета для кубического уравнения...10

Уравнения высших степеней…………………………..........11

Нахождение рациональных корней уравнения.

Теорема Безу……………………………….....11

Схема Горнера………………………………...13

6) Способы и методы решения уравнений:………………………...16

Разложение на множители…………………...16

Вынесение общего множителя за скобку………………………………….16

Применение формул сокращённого умножения……………………………..17

Способ группировки………………….17

Замена переменной…………………………….18

Биквадратное уравнение……………..18

Понижение степени уравнения………19

Уравнение вида (х+α)4+(х+β)4=γ……..21

Возвратное уравнение………………...23

Метод деления на многочлен, содержащий переменную…………………………………..24

Метод выделения полного квадрата………….26

7) Задачи с параметрами……………………………………..26

3.Задачи для самостоятельного решения……………………..30

4.Заключение……………………………………………………...31

5.Список использованной литературы………………………..33

Цели и задачи:

Цель работы:

рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;

а также проанализировать существующие способы решения уравнений высших степеней.

Задачи работы:

изучить алгоритм решения алгебраических уравнений, используя:

Общий способ,

Формулу Кардано,

Схему Горнера;

рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:

Разложение на множители. Способ группировки;

Замена переменной;

Метод деления на многочлен, содержащий переменную;

Метод выделения полного квадрата.

показать некоторые способы решений уравнений с параметром.

Вступление.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности.

Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для школьника.

В своей работе я привёл ряд таких приёмов.

Моей целью было рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений, а также проанализировать существующие способы решения, казалось бы, сложных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний в области решения алгебраических уравнений различных степеней. А так же показать применение нестандартных методов рассуждения при решении уравнений.

Я обращался к различной литературе, и из различных источников взял на рассмотрение различные методы решения уравнений. Так, например: общий способ решения уравнений высших степеней был почерпнут из книги Г.В. Дорофеева(5), в которой подробно рассмотрены все, приведенные в работе, теоремы, показано применение их в практических задачах и способы нахождения целых и рациональных корней многочлена; хорошо продемонстрирована схема Горнера, которая, которая незаслуженно обделена вниманием и не рассматривается на уроках математики, а также описано правило для конструирования чисел в таблице по схеме Горнера.

Формулу Кардано для уравнения третьей степени я нашел в энциклопедии по математике (изд. «Аванта») и энциклопедическом словаре юного математика, но в последнем не показывается преобразование кубического уравнения, поэтому применение формулы затруднительно. А в первом предлагается на рассмотрение переход от полного кубического уравнения к уравнению вида x3+Px2+Qx+R=0, корни которого находятся из формулы Кардано, и демонстрируется, как по одному корню уравнения найти остальные корни, используя разложение многочлена на множители.

Метод разложения многочлена на множители и способ группировки был взят из справочных материалов по математике авторы Гусев, Мордкович, но этот метод подробно изучается в школьном курсе математики и особых трудностей для учащихся не представляет. В этой же литературе показан способ решения биквадратных уравнений введением новой переменной. А вот способ понижения степени уравнения очень подробно рассмотрен в работе С.Н.Олехника, в которой на нескольких примерах показано, как, используя замену переменной перейти к уравнению, степень которого ниже степени исходного уравнения, а решение проще.

В большой школьной энциклопедии и работе С.Н.Олехника рассмотрены способы решения возвратных уравнений. В своей работе я предложил способ, который дан в энциклопедии, так как он показался мне более понятным и приемлемым для учащихся.

Почти все помещенные в работе примеры и упражнения, как разобранные, так и предложенные для самостоятельного решения взяты из сборников самостоятельных и контрольных работ, а так же из сборников заданий для подготовки к экзаменам по математике.

Данная работа предназначена для выпускников основной и полной школ, учителей математики для работы на уроках и факультативных занятиях.

Отмечу, что общего рецепта решения уравнений любой натуральной степени не существует, но при знании приведенных способов и методов решений уравнений многие трудные задачи окажутся вполне посильными для «среднего» школьника.

Перейдём к рассмотрению частных случаев.

Определение алгебраического уравнения.

Уравнение вида Pn(x)=0, (1)

где Pn(x)- многочлен степени n, т.е. Pn(x)= а0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, a0≠0,

image1.wmf�� EMBED Equation.3 image2.wmf

a n-любое натуральное число или 0, коэффициенты аn, an-1, …, a0 - произвольные числа, называется алгебраическим уравнением степени n.

Линейное уравнение.

При n=1 уравнение (1) обычно записывается в виде

ах+в=0,

и называется линейным;

которое при а≠0, в≠0 имеет единственный корень х0=-в ∕а;

а=0, в=0 имеет множество корней;

а=0, в≠0 уравнение не имеет корней.

При решении задач, чаще всего, встречаются уравнения, приводимые к линейным с помощью равносильных преобразований:

если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Пример1: Решить уравнение

image3.wmf

12(

image4.wmf * Умножим обе части уравнения на12:

8+3х+2-2х=5х-12, * Используя распределительный закон, раскроем скобки,

5х-3х+2х =8+2+12, * Перенесём слагаемые с х в левую часть,

4х=22, * Приведём подобные слагаемые,

х=5,5. * Разделим обе части уравнения на 4

Пример2:

Решить уравнение 10х+3(2х+2)=2(6х-1)+4

10х+6х+6=16х-2+4 *Раскроем скобки.

16х+6=16х+2 *Приведём подобные слагаемые.

0х=-4 *Слагаемые с х перенесём в левую часть, а без, в правую.

Ø *Нет решения.

Пример 3:

-13х+28+5х=17-8х+11

-8х+28=-8х+28

0х=0

Х-любое число.

Квадратное уравнение.

При n=2 уравнение (1) записывается в виде

ах2+вх+с=0, а≠0 (2)

и называется квадратным уравнением.

image5.wmfДискриминантом данного уравнения является D=b2-4ac, если

а) D>0, то уравнение (2) имеет два различных корня

х1,2=

image6.wmf�� EMBED Equation.3 image7.wmf

image8.wmf б)D=0, то уравнение (2) имеет два совпадающих корня

х1=х2=

image9.wmf

в) D<0, то уравнение (2) не имеет корней.

Пример1: Решить уравнение.2х2-5х+2=0, где

а=2, б=-5, с=2

D=(-5)2-4*2*2=9 *Находим дискриминант, так как он больше нуля,

уравнение имеет два корня.

image10.wmf *По формуле корней квадратного уравнения находим

х1=2

корни уравнения.

image11.wmf

х2=

image12.wmf

Ответ:{1/2;2.}

Пример 2:Решить уравнение

image13.wmf.

Решение:

image14.wmf

Начиная с третьего шага это уравнение можно решить иначе:

свернуть по формуле квадрата разности и обойтись без вычисления дискриминанта:

image15.wmf

Ответ:{3.}.

При решении некоторых систем происходит переход к квадратному уравнению.

Пример 3: Решить систему уравнений.

х+2у=14

ху=24

х=14-2у *Из первого уравнения выражаем х.

(14-2у)у=24 *Подставляем выраженное во второе уравнение, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

-2у2+14у-24=0 *Переходим к квадратному уравнению

.

у2-7у+12=0 *Это уравнение равносильно предыдущему.

а=1 b=-7 c=12,

D=(-7)2-4*1*12=1`

у1,2=7±1 *Тогда у1=4, у2=3 *Находим корни уравнения через

2,

дискриминант.

х1=14-2*4 х2=14-2*3

х1=6 х2=8

Ответ:{(6;4);(8;3)}

Теорема Виета.

Если в квадратном уравнении коэффициент а=1, то такое уравнение называют приведённым и записывают в виде х2+рх+q=0. В этом случае справедлива теорема Виета :

Если приведённое квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

И теорема обратная к ней:

если числа х1и х2 таковы, что х1+х2=-р, х1*х2=q, то х1 и х2 корни квадратного уравнения х2+рх+q=0

Пример1 : Решить уравнение.х2+3х-28=0

Попробуем найти два числа х1 и х2, такие, что

х1+х2=-3

х1*х2=-28

Нетрудно заметить, что такими числами будут 7 и -4, по теореме Виета они и являются корнями данного уравнения.

Пример2: Решить уравнение.х2+2х+3=0.

Попробуем найти корни по теореме Виета, то есть составим равенства.

х1+х2=-2

х1*х2=3

Подобрать корни не удаётся, проверим дискриминант.

D=22-4*1*3=-8, D<0, следовательно, уравнение не имеет корней.

Кубическое уравнение.

При n=3 уравнение (1) примет вид

ах3 + ьх2 + сх + d = О, где а≠0,(2)

если уравнение разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

x3+Px2+Qx+R=0. (3)

Используя формулу куба суммы, имеем

(x+b)3=x3+3x2b+3xb2+b3, (4)

приняв b=P/3 и сложив уравнения (3) и (4), приведя подобные слагаемые получим уравнение

(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0

Если здесь сделать замену у = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2

у3 + ру + q = 0

.Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (3) с помощью подходящей замены можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

х3 + рх +q = 0. (5)

Формула Кардано

позволяет найти корни уравнения (5)

x=

image16.wmf+
image17.wmf (6)

Перед тем как посмотреть формулу Кардано в действии необходимо пояснить, что по одному корню кубического уравнения (5) можно найти другие его корни, если, конечно, таковые имеются. Для этого необходимо разложить на множители левую часть, используя найденный корень и решить квадратное уравнение, тем самым будут найдены корни исходного кубического уравнения.

Поясним на примере.

Пример 1:

Рассмотрим уравнение х3-3х-2=0, где р=-3 q=-2

x=

image18.wmf+
image19.wmf по формуле Кардано (6) находим первый корень уравнения, получаем х1=2. Разложим многочлен левой части на множители, используя деление многочлена на многочлен «уголком»

х3-3х-2 х-2

х3-2х2 х2+2х+1

2х2-3х

2х2-4х

х-2

х-2

0

х3-3х-2=(х-2)*(х2+2х+1) Разложение многочлена на множители,

остаётся решить квадратное уравнение х2+2х+1=0 заметив,

что в левой части уравнения стоит полный квадрат,

свернём его по формуле квадрата суммы и получим

(х+1)2=0 откуда х2=-1.

Ответ:{-1;2}.

Пример 2: Решить уравнение

image20.wmf

Решение: Легко угадать корень данного уравнения х=1,

причём это единственный корень,

так как функция в левой части строго возрастает.

Посмотрим, что нам даст формула Кардано в этом же уравнении,

где р=3, q=-4.

image21.wmf

Найденный корень и есть та самая единица, которую мы угадали ранее.

В данном случае применение формулы Кардано не рационально.

Теорема Виета для кубического уравнения.

Если в кубическом уравнении первый коэффициент равен единице, то такое уравнение называют приведённым и записывают в виде х3+ах2+bx+c=0. В этом случае справедлива теорема Виета :

x1+x2+x3=-a

x1x2+x2x3+x1x3=b

x1x2x3=-c

Пример: Решить уравнение, используя теорему Виета

х3-6х2+11x-6=0.

x1+x2+x3=6 Не трудно заметить, что корнями данного

x1x2+x2x3+х1х3=11 уравнения является х1=1, х2=2, х3=3.

x1x2x3=6

Ответ:{1;2;3}.

Уравнения высших степеней.

Чтобы решить уравнение высшей степени Pn(x)=0, нужно найти корни соответствующего многочлена. Число с является корнем многочлена, если Рn(c)=0. При подстановке вместо переменной х числа с получается верное равенство, поэтому корень данного многочлена и корень соответствующего уравнения это одно и тоже число.

Теорема 1.

Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Теорема 2.

Если целое число к – корень многочлена Р с целыми коэффициентами, то (к-1) – делитель числа Р(1),( к+1) – делитель числа Р(-1).

Теорема 3.

Если число с = р/q, где дробь p/q несократима, является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то р – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента этого многочлена.

Следствие.

Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Другими словами: многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом равным единице не может иметь дробных корней, а так же: корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом равным 1 либо целые, либо иррациональные.

Теорема Безу:

Пусть Р - многочлен, с - некоторое число.

Р делится на двучлен (x-с), тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

Остаток от деления Р на (x-с) равен Р(с).

Следствия из теоремы Безу:

Многочлен степени n≥1 имеет не более чем n корней.

Если значения двух многочленов, степени которых не больше n, совпадают при n+1 значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пример 1:

Найти действительные корни уравнения

(2х+1)(х3+1)+х2=2х(х3+3)-5 Это уравнение ещё не является алгебраическим, но к нему легко привести используя равносильные преобразования,

перейдём к уравнению третей степени

х3+х2-4х+6=0

Найдем (по теореме1.) все делители свободного члена ±1, ±2, ±3, ±6. И проверим каждое из чисел способом подбора, является какое либо из них корнем уравнения.

Р3(±1)≠0 Р3(±2)≠0 Р3(3)≠0 Р3(-3)=0 → Одним из корней уравнения является число -3.

Выполнив деление уголком (по теореме Безу), получим

Найдём теперь корни многочлена М2(х), то есть х2-2х+2=0, а так как дискриминант меньше нуля то больше к

х3+х2-4х+6 х+3 Р3(х)=(х+3)М2(х), где М2(х)= х2-2х+2.

х3+3х2 х2-2х+2

-2х2-4х

-2х2-6х

2х+6

2х+6

0 Ответ:{-3}.

Пример 2:

Решить уравнение.2х4+5х3+х2+4х-24=0

По теореме 1 будем искать корни уравнения среди делителей его свободного члена.±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

Р4(±1)≠0, Р4(±2)≠0, Р4(3)≠0, но

Р4(-3)=0 следовательно х=-3 один из корней уравнения.

Р4(х)=(х+3)М3(х) *согласно теореме Безу, чтобы найти М3(х) используем деление «уголком».

2х4+5х3+х2+4х-24 х+3

2х4+6х3 2х3-х2+4х-8

-х3+х2

-х3-3х2

4х2+4х

4х2+12х

-8х-24

-8х-24

0

2х4+5х3+х2+4х-24=(х+3)( 2х3-х2+4х-8) *Разложение многочлена на множители.

2х3-х2+4х-8=0 *Аналогичным способом решим уравнение третьей степени,

для этого по теоремам 1 и 3 проверим числа±1, ±2, ±4, ±8.

Числа ±1, ±2 были проверены ранее и они уже не являются корнями уравнения,

остаётся проверить ±4, ±8, при непосредственной подстановке убедимся, что и они не обращают равенство в ноль.

Следовательно уравнение 2х4+5х3+х2+4х-24 имеет единственный корень -3.

Схема Горнера

В предыдущем пункте был получен алгоритм для нахождения рациональных корней уравнения (1) с целыми коэффициентами, этот алгоритм работает всегда, но зачастую приводит к громоздким вычислениям. Значительно упростить работу помогает схема Горнера (по имени английского математика ХVI в). Эта схема состоит в составлении некоторой таблицы.

Помимо нахождения корней, по ней можно вычислять значения многочленов гораздо проще, чем при непосредственной подстановке.

В чём её суть рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1: Решим уравнение 2х4+3х3-10х2-5х-6=0

1) 2х4+3х3-10х2-5х-6=0 Запишем само уравнение;

2)Выпишем числа ±1, ±2, ±3, ±6 Они являются делителями

свободного члена;

3)

2

3

-10

-5

-6

1

Выписываем в верхнюю строку таблицы коэффициенты уравнения, при этом первую клетку оставляем пустой. А в первую клетку второй строки записываем один из делителей свободного члена (в нашем случае - число 1). �

4)

2

3

-10

-5

-6

1

2

Далее переписанный первый коэффициент (число2) умножаем на выбранный делитель

(число 1) и прибавляем к полученному произведению второй коэффициент (число 3) получаем: 2*1+3=5, записываем его в следующем столбце второй строки.

2

3

-10

-5

-6

1

2

5

5)Для заполнения пустых клеток таблицы производим вычисления аналогичные описанным в пункте 4.

1*5-10=-5

2

3

-10

-5

-6

1

2

5

-5

1*(-5)-5=-10

2

3

-10

-5

-6

1

2

5

-5

-10

1*(-10)-6=-16

так как последнее число во второй

2

3

-10

-5

-6

1

2

5

-5

-10

-16

строке не равно нулю, то выбранный нами делитель

свободного члена (число1) не является корнем данного уравнения.

6) Предположим, что корнем уравнения может являться число2, тогда заполнив такую же таблицу по схеме Горнера, получим:

2

3

-10

-5

-6

2

2

7

4

3

0

2*2+3=7

2*7-10=4

2*4-5=3

2*3-6=0

теперь число в последней клетке оказалось равным 0, следовательно первый корень данного уравнения х1=2.

7) Запишем разложение на множители из чисел второй строки, так как первый корень равен 2, то первый множитель представим в виде (х-2), а из остальных чисел второй строки записываем множитель в виде многочлена со степенью на единицу меньше (2х3+7х2+4х+3). общий вид разложения на множители таков: (х-2)(2х3+7х2+4х+3).

8)так же по схеме Горнера решим получившееся уравнение третьей степени 2х3+7х2+4х+3=0 выберем делитель свободного члена число -3 и составим таблицу:

2

7

4

3

-3

2

1

1

0

а) -3*2+7=1

б) -3*1+4=1

в) -3*1+3=0

Второй корень уравнения х2=-3 �

9) Разложение в данном случае примет вид (х-2)(х+3)(2х2+1х+1)

остаётся решить уравнение 2х2+1х+1=0, сделать это можно так же по схеме Горнера, а проще через дискриминант.

Но так как D =1-8=-7, то данное квадратное уравнение не имеет корней,

а исходное уравнение 2х4+3х3-10х2-5х-6=0 имеет два корня{-3;2}.

Используя описанную выше схему Горнера мы можем найти один корень многочлена , а дальше по теореме Безу находить корни многочлена степень которого на единицу меньше (данный приём называется понижением степени), таким образом можно найти все корни многочлена.

Приведенные способы можно использовать для решения любого уравнения степени n, но иногда удобнее использовать некоторые специальные приемы для упрощения вычислений. Рассмотрим некоторые из них.

Способы и методы решения уравнений.

Разложение на множители.

Суть этого метода состоит в том, чтобы многочлен стоящий в левой части разложить на множители таким образом рn(x)=p1(x)*p2(x)*……, где p1(x), p2(x),…… многочлены более низкой степени, чем n. Тогда исходное уравнение примет вид p1(x)*p2(x)*……=0, если а - корень уравнения р(х)=0, то p1(а)*p2(а)*……=0, следовательно хотя бы один из множителей p1(а), p2(а), ……равен нулю. Значит а является корнем уравнения рn(x). Верно и обратное утверждение: если х=b – корень хотя бы одного из уравнений p1(x)=0 p2(x)=0……, то b – корень уравнения pn(x)=0.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.

Вынесение общего множителя за скобку.

Суть метода: ас+ bc=c(a+b) Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую о все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем.

Пример 1:

9x3-27x2=0

3x2(3x-9)=0

3x2=0 3x-9=0

x=0 x=3

Ответ:{0;3}.

Пример 2:

image22.wmf

image23.wmf Ответ:{0}.

Использование формул сокращённого умножения.

Пример 1:

х6-1=0 Используя формулу разности квадратов перейдём к уравнению.

(х3-1)(х3+1)=0, которое является распадающимся на два уравнения.

(х3-1)=0 (х3+1)=0

Корнем первого уравнения является 1, а второго -1.

Пример 2:

4х4+16х3+16х2=0. Вынесем за скобки общий множитель 4х2,

4х2(х2+4х+4)=0 Используя формулу квадрата суммы перейдём к уравнению

4х2(х+2)2=0

х1=0 х2=-2

Способ группировки.

Метод основан на переместительном и сочетательном методах которые позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удаётся такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей остаётся один и тот же многочлен, который в свою очередь тоже может быть вынесен за скобки.

Пример 1:

x5+x4+3x3+3x2+2x+2=0

(x5+x4)+(3x3+3x2)+(2x+2)=0 Сгруппируем слагаемые попарно

x4(x+1)+3x2(x+1)+2(x+1)=0 Вынесем общий множитель из каждой скобки

(x4+3x2+2)(x+1)=0 Вынесем общий множитель x+1 за скобки, тем самым произведём разложение на множители левой части, тогда приравняем к нулю каждый множитель.

x4+3x2+2=0 x+1=0 Решить первое уравнение можно способом замены переменной, который мы рассмотрим в следующем пункте.

x1,2=±√3 x3=-1

Пример 2:

х3-3х2+5х-15=0 Произведём группировку слагаемых:

(х3-3х2)+(5х-15)=0 В первой группе вынесем за скобки х2, во второй 5.

х2(х-3)+5(х-3)=0 Теперь вы несем за скобки (х-3).

(х-3)(х2+5)=0 Для нахождения корней проведём ряд действий.

х-3=0 х2+5=0

х1=3 Ø

Уравнение имеет один корень х=3.

Замена переменной

Решение биквадратных уравнений.

Самая простая замена в уравнениях вида ax4+bx2+c=0, где а≠0, которые называются биквадратными. При этом вводится новая переменная x2=y и переходим к уравнению ау2+by+c=0. А это квадратное уравнение и способы его решения рассмотрены выше.

Пример 1:

х4-10х2+21=0 Произведём замену х2=у

у2-10у+21 Найдём корни уравнения по теореме Виета.

у1=-7 у2=3 Подставим найденное в уравнение х2=у.

х2=-7 х2=3

Ø х1=√3 х2=-√3

Пример 2:

x4-5x2+4=0

у2-5у+4=0 Сделаем замену переменной х2=у

у1=1 у2=4 Корни найдём по теореме Виета.

х2=1 х2=4 Вернёмся к старой переменной.

х 1,2=±1 x3,4=±2

Пример 3:

image24.wmf

Понижение степени уравнения.

Некоторые алгебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена одной буквой могут быть сведены к уравнениям, степень которых ниже степени исходного уравнения и решение получается проще.

Пример 1:

Решить уравнение: (x2-2x-1)2+3x2-6x-13=0.

Если выполнить возведение многочлена в квадрат и упростить выражение в правой части, то получим уравнение четвертой степени, которое разрешимо с помощью схемы Горнера, а можно поступить по-другому:

(x2-2x-1)2+3x2-6x-3-10=0

(x2-2x-1)2+3(x2-2x-1)-10=0 Выполним некоторые равносильные преобразования.

x2-2x-1=у Сделаем замену переменной и перейдём к квадратному уравнению.

у2+3у-10=0, где корни

у1=-5 у2=2 Вернёмся к старой переменной

x2-2x-1=-5 x2-2x-1=2 Получили уравнения сводимые к квадратным, преобразуем их.

x2-2x+4=0 x2-2x+3=0 Легко убедиться,

что первое уравнение не имеет корней,

а корни второго уравнения -1;3.

Пример 2: Решить уравнение.

image25.wmf

Решение:

image26.wmf

Ответ:{-3;-1;2;6.}

Пример 3:Решить уравнение:(х-1)(х-7)(х-4)(х+2)=40

Решение:

image27.wmf

Пример 4:Решить уравнение:

image28.wmf

Решение:

image29.wmf

Ответ:{0;1}.

Уравнение вида (х+α)4+(х+β)4=γ.

В данном уравнении α, β, γ-некоторые числа. С помощью замены переменной х+α=а и х+β=b и выполнив вычитание второго равенства из первого получим: α-β=а-b, а дальше перейдём к системе уравнений

image30.wmf

а4+b4=γ

а-b=α-β

Пример : Решить уравнение (х+1)4+(х+3)4=16

х+1=а, х+3=b Выполняем замену.

1-3=а-b Вычитаем из первого равенства второе.

а-b=-2 Получаем систему с двумя переменными:

a4+b4=16

а=b-2

Выразим переменную а из первого уравнения и подставим во второе: (b-2)4+b4=16

Если использовать равносильные преобразования, то можно перейти к уравнению четвертой степени, которое решается с помощью схемы Горнера ( получить решение вы можете самостоятельно).

Корни уравнения (b-2)4+b4=16: b1=0 b2=2.

х+3=0 и х+3=2 Вернёмся к старой переменной и найдём корни исходного уравнения.

х1=-3 х2=-1

Для решения уравнения данного вида можно использовать и другую подстановку

image31.wmf то есть замену
image32.wmf.

Используя эту замену решим уравнение приведенное выше.

Пример 2:

(х+1)4+(х+3)4=16

Решение:

image33.wmf,

image34.wmf,

тогда х=у-2 подставим в исходное уравнение: (у-2+1)4+(у-2+3)4=16

(у-1)4+(у+1)4=16, Возводя в четвёртую степень оба слагаемых и выполнив их сложение, получим уравнение

2у4+12у2+2=16 Разделим обе части уравнения на 2 и приведём подобные слагаемые:

у4+6у2-7=0 Получим биквадратное уравнение, способ решения которого описан выше.

Дальше решите сами, и убедитесь, что корнями исходного уравнения будут числа -3, -1.

Возвратное уравнение.

Алгебраическое уравнение четвертой степени ах4+ьх3+сх2+dх+е=0 называется возвратным, если найдется такое число λ, что между коэффициентами а, ь, с, d, е существует следующая зависимость d=λь, е=λ2а (или имеет место равенство

image35.wmf).

Тогда уравнение запишем в виде ах4+ьх3+сх2+λьх+λ2а=0,

так как х=0 не является корнем данного уравнения, разделим обе части уравнения на х2.

Перегруппируем слагаемые в левой части и получим уравнение равносильное исходному: а(х2+

image36.wmf,

а теперь выполним замену

image37.wmf (т. е.
image38.wmf, получим квадратное относительно переменной у уравнение:

ау2+ьу+с-2λа=0.

Частным случаем возвратных уравнений являются симметрические(ах4+ьх3+сх2+ьх+а=0) и

кососимметрические(ах4+ьх3+сх2- ьх+а=0)уравнения

. Симметрические уравнения решаются с помощью замены

image39.wmf,

а кососимметрические:

image40.wmf.

Пример 1:

Решим уравнение: x4+2x3-22x2+2x+1=0.

Решение:

Данное уравнение – симметрическое.

image41.wmf Делим все коэффициенты на х2, так как х=0 не является корнем уравнения.

image42.wmf Группируем попарно слагаемые с первой степенью и со второй степенью. Выносим общий множитель за скобки.

image43.wmf Вводим новую переменную
image44.wmf, тогда
image45.wmf
image46.wmf получаем новое уравнение:

(у2-2)+2у-22=0

у2+2у-24=0

у1=-6 у2=4 Возвращаемся к старой переменной

image47.wmf
image48.wmf Чтоб избавится от знаменателя домножим обе части уравнений на х, и получим равносильные уравнения.

х2+6х+1=0 х2-4х+1=0 Нетрудно убедится что корнями первого уравнения являются числа х1,2=-3±2√2,

а корнями второго уравнения х3,4=2±√3.

Пример 2: Решить уравнение

image49.wmf

Решение: это возвратное (кососимметрическое) уравнение, где

image50.wmf

Перешли к симметрическому уравнению, решение которого показано в предыдущем примере.

Метод деления на многочлен.

Рассмотрим применение этого метода на конкретных примерах.

Пример 1:

(х2-6х-9)2=х(х2-4х-9) Выполняя непосредственные преобразования получим уравнение четвёртой степени, которое можно решить одним из способов описанных выше. Но можно поступить иначе, заметив, что данное равенство демонстрирует основное свойство пропорции, перейдём к записи самой пропорции.

image51.wmf Разделив обе части уравнения на выражение х (х2-6х-9) и выделив целую часть в правой части равенства, получим:

image52.wmfЗаметив, что обе части уравнения содержат одинаковые выражения с переменной,

сделаем замену переменной обозначив

image53.wmf,
image54.wmf.

Приводя к общему знаменателю перейдём к квадратному уравнению:

у2-у-2=0, где у1=2, у2=-1.

Возвращаясь к старой переменной, получим два уравнения:

image55.wmf
image56.wmf

Далее решить уравнение я предлагаю вам самостоятельно.

И убедится, что корнями уравнения являются числа -1, 9,

image57.wmf.

Пример 2:Решить уравнение:

(2х-1)2+(2х-1)(х+2)=2(х+2)2 Соберём слагаемые в левую часть и разделим всё уравнение на многочлен (х+2)2 получим

(2х-1)2+(2х-1)(х+2)-2(х+2)2 =0

(х+2)2

image58.wmf Произведём замену
image59.wmf перейдём к квадратному уравнению.

у2+у-2=0 Закончите пример сами: решите квадратное уравнение; перейдите к старой переменной и снова решите два уравнения относительно переменной х.

Метод выделения полного квадрата

Иногда левую часть уравнения можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем любым из предложенных выше способов.

Пример:

image60.wmf

Пример:

image61.wmf

Задачи с параметрами.

Рассмотрим решение некоторых алгебраических уравнений с параметрами на конкретных примерах.

Пример 1: Найти значение с, при котором корнем уравнения

3(х-4)-5(х+2)=сх-6 является число 6.

Решение:

3х-12-5х-10-сх+6=0 Сгруппируем слагаемые относительно х.

-2х-сх-16=0 Подставим х =6

-12-6с-16=0

-6с=28

с=-14/3

Ответ: При с=-14/3 корнем данного уравнения является число 6.

Пример 2: При каких значениях b уравнение

image62.wmf

image63.wmf имеет 2 корня.

Решение:

Квадратное уравнение имеет два корня когда дискриминант больше нуля:

D=64-16b

64-16b>0

b<4

Ответ: При b<4 уравнение имеет два корня.

Пример 3: При каких значениях с уравнение

image64.wmf не имеет корней.

Решение:

Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант меньше нуля.

image65.wmf

Ответ: при

image66.wmf�� EMBED Equation.3 image67.wmf исходное уравнение не имеет корней.

Пример 4: Определите u, если один из корней уравнения

image68.wmf является квадратом другого.

Решение:

Запишем равенство, сформулированное в условии задачи.

image69.wmf

используя теорему Виета, перейдём к системе уравнений.

image70.wmf

подставим х2 из третьего уравнения в первое, перейдём к уравнению:

image71.wmf

Ответ: при u1=13,5 и u2=-62,5 один из корней уравнения является квадратом второго.

Пример 5: Найти при каких значениях р корнями уравнения

image72.wmf являются два противоположных числа.

Решение: Запишем данное уравнение в виде квадратного:

image73.wmf

Противоположные по знаку корни можно получить только из неполного квадратного уравнения, в котором второй коэффициент равен нулю, т.е.

image74.wmf

Ответ: При р=±1 корнями уравнения являются два противоположных числа.

Пример 6: При каких значениях а не имеет корней уравнение:

image75.wmf

Решение: От данного биквадратного уравнения заменой переменной

image76.wmf

перейдём к квадратному уравнению:

image77.wmf

Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант меньше нуля, но биквадратное уравнение надо решать дальше.

Рассмотрим случай, когда

image78.wmf найдём корни квадратного уравнения.

image79.wmf Перейдем к переменной х:
image80.wmf

image81.wmf Это равенство не выполняется тогда, когда правая часть меньше нуля.

Рассмотрим оба случая:

image82.wmf
image83.wmf

Выбирая общее решение, получим:

Ответ: при a<0 уравнение

image84.wmf не имеет корней.

Пример 7: Для каждого значения параметра а решить уравнение:

image85.wmf

Решение: Сделаем замену

image86.wmf и перейдём к квадратному уравнению.

image87.wmf
image88.wmf В каждой из скобок обнаружим одинаковые слагаемые и введём ещё один параметр
image89.wmf

image90.wmf

Так как дискриминант в данном случае не может быть отрицательным числом, то квадратное уравнение имеет корни, найдём их.

image91.wmf
image92.wmfправая часть отрицательна→

Ответ: а>0, х1,2=±√а

а=0, х=0

а<0, Ø.

Задания для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

image93.png image94.png

image95.pngimage96.png

image97.png

Решить уравнения, используя замену переменной.

image98.pngimage99.png

image100.png

image101.pngimage102.png

image103.png

image104.png

Решите уравнения, используя деление на подходящее

выражение с переменной:

image105.png

Решите уравнение, используя выделение

полного квадрата:

image106.png

Заключение.

В своей работе я рассмотрел способы решения некоторых алгебраических уравнений, проанализировал существующие способы: так на примере решения кубического уравнения было показано, что применение формулы Кардано не всегда приводит к рациональному решению, именно поэтому её применяют достаточно редко и не рассматривают в школьном курсе.

Кроме того, изучил алгоритм решения алгебраических уравнений, с помощью формул описанных в моей работе, но для упрощения вычислений я предлагаю использовать схему Горнера, так как она освобождает учащихся от громоздких вычислений.

И самое главное я предложил для рассмотрения несколько различных способов и методов решения уравнений высших степеней.

При применении разложения левой части уравнения на множители было использовано вынесение общего множителя за скобки, применены формулы сокращённого умножения и способ группировки. В каждом данном случае исходное уравнение распадается на несколько простых, решение которых на много проще.

В следующем параграфе я предложил несколько видов различных уравнений, которые решаются с помощью замены переменной. Цель этого метода состоит в том, чтобы добиться понижения степени исходного уравнения или преобразовать уравнение так, чтобы новая запись уравнения была короче и проще для вычислений.

Способ деления многочлена на многочлен нужен для того, чтобы получить одинаковые выражения, к которым потом можно применить замену переменной и перейти к более простому уравнению (чаще всего к квадратному).

Метод выделения полного квадрата состоит в том, чтобы преобразовать левую часть уравнения таким образом, что в дальнейшем можно применить формулу квадрата суммы или квадрата разности. А дальше использовать один из предложенных выше способов.

Задачи с параметрами являются особенно трудными для учащихся, так как содержат два неизвестных в своей записи. В работе я привёл несколько примеров решения таких задач: от самых простых, решаемых простой подстановкой до очень сложной, в которой помимо замены переменной вводится и замена параметра. Тогда биквадратное уравнение с одним параметром свелось к квадратному но с двумя параметрами, казалось бы мы ничего не выиграли, но так как дискриминант квадратного уравнения свернулся по формуле квадрата суммы решение самого уравнения получилось простым и ясным..

Чтобы решать алгебраические уравнения необходимо хорошо знать общий способ, уметь применять схему Горнера, а так же другие способы и методы их решения такие как: разложение на множители, замена переменной, способ группировки, решение биквадратных уравнений, нахождение корней с помощью понижения степени уравнения и решение возвратных уравнений. Все эти способы я описал выше, применяя их можно решить большинство алгебраических уравнений.

Рассмотрев в своей работе достаточно примеров уравнений, я пришёл к выводу, что предпочтительней решать некоторые уравнения нетрадиционным способом, так как вычисления при этом получаются намного проще. Но вы вольны сами выбирать: решать уравнение нетрадиционным способом или нет.

Список используемой литературы:

1. 1С – Репетитор. Электронная версия

2. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, Н.Е.Федорова, М.И. Шабунин. Алгебра. Учебник для 9 класса. – 7-е изд. М.: Просвещение, 2001.

3. Энциклопедия для детей. Математика. Т. 11.Глав. ред. М.Д.Аксенова. – М.; Аванта +, 2002.

4. В. А. Гусев, А.Г.Мордкович. Математика. Справочные материалы.- 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990.

5.Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. Математика для школьников. Научно-практический журнал.№ 3.2005.

6. А.П.Ершова, В.В. Голобородько, А.С.Ершова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса.- М.: Илекса,2005.

7. Задания для подготовки к письменному экзамену по математике в 9 классе: Пособие для учителя/ Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина. - 2-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

8. Большая школьная энциклопедия. Т 1.Естественные науки (автор-составитель С. Исмаилова). - М.: Русское энциклопедическое товарищество,2004.

9. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.М. Короткова. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – 10-е изд.М.: Просвещение, 2005.

10. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. – М.: Экзамен, 1998.

11. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. – 2-е изд., исправленное и дополненное.М.: Педагогика,

1989.

_1204402368.unknown

_1204818528.unknown

_1204826059.unknown

_1204884131.unknown

_1204889674.unknown

_1204903608.unknown

_1204913570.unknown

_1204913601.unknown

_1204903616.unknown

_1204891683.unknown

_1204886500.unknown

_1204887946.unknown

_1204889454.unknown

_1204886679.unknown

_1204885274.unknown

_1204826992.unknown

_1204827801.unknown

_1204883990.unknown

_1204827256.unknown

_1204826432.unknown

_1204825259.unknown

_1204825890.unknown

_1204825947.unknown

_1204825798.unknown

_1204818898.unknown

_1204821079.unknown

_1204825101.unknown

_1204819171.unknown

_1204819819.unknown

_1204818930.unknown

_1204818767.unknown

_1204818837.unknown

_1204818677.unknown

_1204815469.unknown

_1204817759.unknown

_1204817951.unknown

_1204818154.unknown

_1204817803.unknown

_1204817162.unknown

_1204817268.unknown

_1204817643.unknown

_1204816683.unknown

_1204816883.unknown

_1204817070.unknown

_1204816557.unknown

_1204814972.unknown

_1204815122.unknown

_1204815389.unknown

_1204814994.unknown

_1204814041.unknown

_1204814407.unknown

_1204814948.unknown

_1204814022.unknown

_1204225595.unknown

_1204304413.unknown

_1204388100.unknown

_1204388351.unknown

_1204389044.unknown

_1204389152.unknown

_1204388510.unknown

_1204388333.unknown

_1204387955.unknown

_1204387979.unknown

_1204387677.unknown

_1204226288.unknown

_1204226589.unknown

_1204226878.unknown

_1204304269.unknown

_1204226830.unknown

_1204226408.unknown

_1204225929.unknown

_1204226067.unknown

_1202481435.unknown

_1204224044.unknown

_1204224855.unknown

_1204224921.unknown

_1204225530.unknown

_1204224760.unknown

_1202481717.unknown

_1204211927.unknown

_1202481590.unknown

_1200665272.unknown

_1202479743.unknown

_1202481409.unknown

_1202479594.unknown

_1200665496.unknown

_1200663610.unknown

_1200665249.unknown

_1200662874.unknown

_1200663039.unknown

Скачать конспект
Презентация будет доступна через 45 секунд