Презентация на тему "Систематическое интегрирование"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Систематическое интегрирование

• 
  Слайд 2

  Содержание

  1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций. 3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.

• 
  Слайд 3

  Некоторые сведения о многочленах

• 
  Слайд 4

  Понятие многочлена

  Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

• 
  Слайд 5

  Теорема Безу

  Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

• 
  Слайд 6

  Доказательство

  Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть (*) Тогда если x=a–корень многочлена , то и, подставляя x=a, в обе части равенства (*), получим r=0.

• 
  Слайд 7
  

  Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается в нуль, тогда и , то есть x=a–корень . Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

• 
  Слайд 8

  Теоремы алгебры

  Теорема.Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

• 
  Слайд 9

  Случай кратных действительных корней

  Если в разложении многочлена на множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид: При этом . В этом случае корни называются корнями кратности соответственно.

• 
  Слайд 10

  Пример

  . Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

• 
  Слайд 11

  Случай комплексных корней

  Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

• 
  Слайд 12

  Продолжение

  Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными.Им соответствует множитель вида где дискриминант отрицателен.

• 
  Слайд 13

  Случай кратных комплексных корней

  Если комплексные корни многочлена являются кратными, то этот многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле где

• 
  Слайд 14

  Интегрирование рациональных дробей

• 
  Слайд 15

  Рациональные дроби

  Рациональной дробью называется выражение вида , где - многочлены степеней n и m соответственно. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае -неправильной.

• 
  Слайд 16
  

  Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где - некоторый многочлен, а - правильная рациональная дробь.

• 
  Слайд 17

  Простейшие рациональные дроби

  Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

• 
  Слайд 18

  Интегрирование простейших рациональных дробей

  Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:

• 
  Слайд 19

  Пример интегрирования рациональной дроби

  Найдем Разложим знаменатель дроби на множители: Тогда Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.

• 
  Слайд 20

  Продолжение

  Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10. Приравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества, получаем 3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем

• 
  Слайд 21
  
• 
  Слайд 22

  Пример интегрирования рациональной дроби

  Вычислить Приведем выражение к общему знаменателю: .

• 
  Слайд 23

  Продолжение

  Приравняем числители . Многочлены, стоящие в правой и левой частях этого соотношения тождественно равны, т. е. равны коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего соотношения. е

• 
  Слайд 24
  

  Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в разложение дроби на простейшие, получим

• 
  Слайд 25
  
• 
  Слайд 26

  Интегрирование тригонометрических функций

• 
  Слайд 27

  Интегралы вида

  Если хотя бы одно из чисел m или n -нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

• 
  Слайд 28

  Примеры

  Вычислить . Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем под знак дифференциала синус и получим:

• 
  Слайд 29

  Продолжение

  2. Интегралы вида где m иn– четные положительные числа, вычисляют с помощью формул понижения степени:

• 
  Слайд 30

  Пример

• 
  Слайд 31

  Продолжение

  3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

• 
  Слайд 32

  Пример

  Рассмотрим пример: =

• 
  Слайд 33

  Продолжение

  4. Интегралы где вычисляют заменой Второй интеграл берут с помощью подстановки t=ctgx.

• 
  Слайд 34

  Пример

  Вычислим: Разложим интеграл на два интеграла..Получим

• 
  Слайд 35

  Продолжение

  5.Такой же заменой можно брать интегралы целые числа одинаковой четности. Например,

• 
  Слайд 36

  Универсальная подстановка

  6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки Откуда Например,

• 
  Слайд 37

  Продолжение

  7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее пользоваться подстановкой tgx=t. Тогда

• 
  Слайд 38

  Пример

• 
  Слайд 39

  Интегрирование простейших иррациональностей

• 
  Слайд 40

  Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен

  1.Интегралы вида берут, выделяя полный квадрат и вводя новую переменную.

• 
  Слайд 41

  Продолжение

  2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки гдеn–наименьшее общее кратное чисел m иk.

• 
  Слайд 42

  Тригонометрические подстановки

  Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок. 1.

• 
  Слайд 43
  

  2. 3.

• 
  Слайд 44

  Пример