Презентация на тему "Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ)

• 
  Слайд 2
  
• 
  Слайд 3
  

  Здесь - неизвестные; - коэффициенты при неизвестных, где - номер уравнения, - номер неизвестного; - свободные члены (правые части).

• 
  Слайд 4
  

  Система наз. неоднородной, если не все равны нулю. Система наз. однородной, если все равны нулю.

• 
  Слайд 5
  

  Матрица системы

• 
  Слайд 6

  Расширенная матрица

• 
  Слайд 7
  

  Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

• 
  Слайд 8
  

  Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной.

• 
  Слайд 9
  

  Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной). Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных , то система называется квадратной.

• 
  Слайд 10
  

  Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

• 
  Слайд 11

  Метод Гаусса

• 
  Слайд 12
  

  Рассмотрим квадратную систему:

• 
  Слайд 13
  

  Исходную систему можно представить в виде таблицы: (-4) (-3) (-5)

• 
  Слайд 14
  

  (-1) 2 5 (-2)

• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17
  

  Полученная матрица соответствует системе:

• 
  Слайд 18

  Матричный метод

• 
  Слайд 19
  

  С помощью этого метода можно решать квадратные системы линейных уравнений

• 
  Слайд 20
  
• 
  Слайд 21
  

  Систему можно записать в виде где

• 
  Слайд 22
  
• 
  Слайд 23
  

  Если матрица невырожденная, то можно выполнить преобразования

• 
  Слайд 24

  Метод Крамера

• 
  Слайд 25
  

  Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то эта система является определенной и её единственное решение находится по формуле

• 
  Слайд 26
  
• 
  Слайд 27
  
• 
  Слайд 28
  

  Здесь – определитель, получающийся из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

• 
  Слайд 29
  
• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  

  Если и по крайне мере один из определителей , то система не имеет решения. Если и , система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

• 
  Слайд 32

  Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и

  Для того чтобы система неоднородных линейных уравнений с неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

• 
  Слайд 33
  

  Замечание. Пусть система совместна и если число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение; если число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет множество решение.

• 
  Слайд 34

  Однородные системы

• 
  Слайд 35

  Теорема о совместности однородной системы

  Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.