Презентация на тему "Степенные ряды"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Степенные ряды

  Лекции12, 13, 14

• 
  Слайд 2

  Функциональныеряды

  Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

• 
  Слайд 3

  Пример функционального ряда

  Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х.

• 
  Слайд 4

  Степенные ряды

  Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .

• 
  Слайд 5

  Интервал сходимости степенного ряда

  Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

• 
  Слайд 6

  Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

  Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

• 
  Слайд 7

  Продолжение

  В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),гдеR-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование.

• 
  Слайд 8

  Примеры

  Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

• 
  Слайд 9
  

  Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).

• 
  Слайд 10
  

  Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = = =

• 
  Слайд 11

  Продолжение

  = . Но 0

• 
  Слайд 12

  Пример

  Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

• 
  Слайд 13

  Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

  1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если .

• 
  Слайд 14

  Почленное дифференцирование

  2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то

• 
  Слайд 15

  Почленное интегрирование

  3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где .

• 
  Слайд 16

  Разложение функций в степенные ряды

• 
  Слайд 17

  Определения

  Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или .

• 
  Слайд 18

  Степенной ряд как ряд Тейлора

  Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда,то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

• 
  Слайд 19

  Формула Тейлора

  Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

• 
  Слайд 20

  Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

  Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

• 
  Слайд 21

  Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

  Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

• 
  Слайд 22

  Достаточные условия разложимости функции в рядТейлора

  Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

• 
  Слайд 23

  Разложение

  Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

• 
  Слайд 24

  Разложение в ряд синуса.

  Вычислим производные синуса:

• 
  Слайд 25

  Продолжение

  Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

• 
  Слайд 26

  Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

  При решении задач удобно пользоваться разложениями: 1. 2. 3.

• 
  Слайд 27

  Продолжение

  Геометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд: 5.

• 
  Слайд 28

  Биномиальный ряд

  6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

• 
  Слайд 29

  Пример

  Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом. , где

• 
  Слайд 30

  Применение степенных рядов

• 
  Слайд 31

  Приближенное вычисление интегралов

  Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример. С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

• 
  Слайд 32

  Решение

  Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

• 
  Слайд 33

  Продолжение

  Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

• 
  Слайд 34
  

  Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:

• 
  Слайд 35

  Приближенное вычисление значений функций

  Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

• 
  Слайд 36

  Продолжение

  Получим