Презентация на тему "Задачи по вписанной и описанной окружности"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Многоугольники, вписанные в окружность

  Многоугольник называетсявписаннымв окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называетсяописаннойоколо многоугольника. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Теорема 1

  Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

• 
  Слайд 3

  Теорема 2

  Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

• 
  Слайд 4

  Теорема 3

  Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180о.

• 
  Слайд 5

  Вопрос 1

  Какой многоугольник называется вписанным в окружность? Ответ:Многоугольник называется вписаннымв окружность, если все его вершины принадлежат окружности.

• 
  Слайд 6

  Вопрос 2

  Какая окружность называется описанной около многоугольника? Ответ:Окружность называется описанной около многоугольника, если ей принадлежат все вершины этого многоугольника.

• 
  Слайд 7

  Вопрос 3

  Около всякого ли треугольника можно описать окружность? Ответ:Да.

• 
  Слайд 8

  Вопрос 4

  Где находится центр описанной около треугольника окружности? Ответ:Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

• 
  Слайд 9

  Вопрос 5

  Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? Ответ:Да.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 1

  Укажитецентр окружности, описанной около прямоугольникаABCD. Ответ:

• 
  Слайд 11

  Упражнение 2

  Укажитецентр окружности, описанной около треугольникаABC. Ответ:

• 
  Слайд 12

  Упражнение 3

  Укажитецентр окружности, описанной около треугольникаABC. Ответ:

• 
  Слайд 13

  Упражнение 4

  Укажитецентр окружности, описанной около многоугольникаABCDEFGH. Ответ:

• 
  Слайд 14

  Упражнение 5

  Укажитецентр окружности, описанной около трапецииABCD. Ответ:

• 
  Слайд 15

  Упражнение 6

  Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника? Ответ:а) Да; б) да; в) да.

• 
  Слайд 16

  Упражнение 7

  С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 6 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

• 
  Слайд 17

  Упражнение 8

  С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

• 
  Слайд 18

  Упражнение 9

  С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 2 см, 3 см, 4 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

• 
  Слайд 19

  Упражнение 10

  Постройте треугольник ABC по двум данным сторонамAB = c, AC = bи радиусу R описанной окружности. Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности.Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB.С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b. Обозначим C1, C2ее точки пересечения с проведенной окружностью.Соединим их отрезками с точками A иB. Треугольники ABC1и ABC2будут искомыми.

• 
  Слайд 20

  Упражнение 11

  Постройте треугольник ABC по данным сторонеAB = c, углу Aи радиусу R описанной окружности. Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности.Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB.От луча AB отложим углы, равные углу A.Обозначим C1, C2точки пересечения их лучей с проведенной окружностью.Соединим их отрезками с точками A иB. Треугольники ABC1и ABC2будут искомыми.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 12

  Всегда ли можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции? Ответ: а) Да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

• 
  Слайд 22

  Упражнение 13

  Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70о, 130о, 110о, 50о; б) 90о, 90о, 60о, 120о; в) 45о, 75о, 135о, 105о; г) 40о, 125о, 55о, 140о? Ответ: а) Да; б) нет; в) да; г) нет.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 14

  Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Ответ: В середине гипотенузы.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 15

  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. Ответ:5 см.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 16

  Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ:1.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 17

  Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ:30о.

• 
  Слайд 27

  Упражнение 18

  Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30о. Найдите сторону AB этого треугольника, противолежащую данному углу. Ответ:3.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 19

  Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 120о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ:1.

• 
  Слайд 29

  Упражнение 20

  Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ:150о.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 21

  Ответ:12о25'30", 12о25'30", 155о9'. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24о51'.

• 
  Слайд 31

  Упражнение 22

  Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 100о. Ответ: 50о, 65о, 65оили 25о30’, 25о30’, 130о.

• 
  Слайд 32

  Упражнение 23

  Два угла треугольника равны 60о и 40о. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности? Ответ:120о, 80о и 160о.

• 
  Слайд 33

  Упражнение 24

  Ответ: 100о. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС.

• 
  Слайд 34

  Упражнение 25

  Ответ: 30о, 45о и 105о. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

• 
  Слайд 35

  Упражнение 26

  Ответ: 122о. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58о.Найдите угол С этого четырехугольника.

• 
  Слайд 36

  Упражнение 27

  Ответ: 108о. Стороны четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95о, 49о, 71о, 145о. Найдите угол B этого четырехугольника.

• 
  Слайд 37

  Упражнение 28

  Точки А, В, С, D,расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника АВСD. Ответ: 60о.

• 
  Слайд 38

  Упражнение 29

  Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80о и 60о. Найдите два других угла четырехугольника. Ответ: 100о и 120о.

• 
  Слайд 39

  Упражнение 30

  Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ: 90о.

• 
  Слайд 40

  Упражнение 31

  Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABD. Ответ: 70о.

• 
  Слайд 41

  Упражнение 32

  Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75о, угол CAD равен 35о. Найдите угол ABC. Ответ: 110о.

• 
  Слайд 42

  Упражнение 33

  Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110о, угол ABD равен 70о. Найдите угол CAD. Ответ: 40о.

• 
  Слайд 43

  Упражнение 34

  Ответ:Против угла в 30о. Углы треугольника равны 30о, 65о и 85о. Какая из сторон треугольника расположена дальше от центра описанной окружности?

• 
  Слайд 44

  Упражнение 35

  Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см. Ответ:12 см.

• 
  Слайд 45

  Упражнение 36

  Ответ:R. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R?

• 
  Слайд 46

  Упражнение 37

  Ответ:2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120о. Найдите диаметр описанной окружности.

• 
  Слайд 47

  Упражнение 38

  Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60о. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 см.

• 
  Слайд 48

  Упражнение 39

  Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: 5 см.

• 
  Слайд 49

  Упражнение 40

  Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 60о. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности? Ответ: В середине большего основания.

• 
  Слайд 50

  Упражнение 41

  Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5.

• 
  Слайд 51

  Упражнение 42

  Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5.

• 
  Слайд 52

  Упражнение 43*

  Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80о, 90о, 100о, 130о, 140о? Решение. Установим соотношение между углами вписанного пятиугольникаABCDE. Заметим, что углы A и C опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE. Из этого вытекает, чтосумма любых двух несоседних углов любого вписанного пятиугольника больше 180о.Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого пятиугольника нельзя описать окружность.

• 
  Слайд 53

  Упражнение 44*

  Докажите, что если сумма любых двух несоседних углов пятиугольника ABCDEбольше 180о, то существует пятиугольник с такими же углами, около которого можно описать окружность. Решение. Искомым пятиугольником является пятиугольник A’B’C’D’E’, для которого

• 
  Слайд 54

  Упражнение 45*

  Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100о, 110о, 120о, 120о, 130о, 140о? Решение. Заметим, что сумма любых трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360о.Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого шестиугольника нельзя описать окружность.

• 
  Слайд 55

  Упражнение 46*

  Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100о, 110о, 120о, 120о. Найдите оставшиеся два угла. Ответ. 140о и 130о.

• 
  Слайд 56

  Упражнение 47*

  Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного семиугольника больше 360о. Решение. Угол A опирается на всю окружность без дуги BG. Угол C опирается на всю окружность без дуги BD. Угол E опирается на всю окружность без дуги DF. В сумме эти углы опираются на более чем две окружности. Следовательно, их сумма больше 360о.