Презентация на тему "Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

  Автор: Жагалкович Полина Сергеевна Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10 Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

• 
  Слайд 2
  

  Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

• 
  Слайд 3
  

  Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

  Пример 1. Доказать что для любого хϵR Доказательство. 1 способ. 2 способ. для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х. дляхϵR дляхϵR дляхϵR т. к.

• 
  Слайд 4
  

  для любых действительных х и у Пример 2. Доказать, что для любых x и y Доказательство. Пример 3. Доказать, что Доказательство. Пример 4. Доказать, что для любых a и b Доказательство.

• 
  Слайд 5

  2. Метод от противного

  Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, bϵR. Доказательство. Предположим, что . Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.

• 
  Слайд 6
  

  Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения: , что является обоснованием исходного неравенства.

• 
  Слайд 7
  

  Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

• 
  Слайд 8

  Использование свойств квадратного трехчлена

  дляхϵR дляхϵR Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если и . Пример 6. Доказать, что Доказательство. Пусть , a=2, 2>0 =>

• 
  Слайд 9
  

  дляхϵR Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х: , а>0, D P(x)>0 и верно при любых действительных значениях хи у.

• 
  Слайд 10
  

  Пример 8. Доказать, что для любых действительных значениях х и у. Доказательство. Пусть , Это означает, что для любых действительных у и неравенство выполняется при любых действительных хи у. дляхϵR

• 
  Слайд 11

  Метод введения новых переменных или метод подстановки

  Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , , . Получаем исследуемое неравенство

• 
  Слайд 12

  Использование свойств функций.

  для аϵR Пример 10. Докажем неравенство для любых а и b. Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ( )>0, что доказывает неравенство

• 
  Слайд 13
  

  Пример 11. Докажем, что для любых Доказательство. на R. Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

• 
  Слайд 14

  Применение метода математической индукции

  Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12. Доказать,что для любого nϵN Проверим истинность утверждения при - (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)

• 
  Слайд 15
  

  *3 3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и : , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

• 
  Слайд 16

  Использование замечательных неравенств

  Теорема о средних (неравенство Коши) Неравенство Коши – Буняковского Неравенство Бернулли Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

• 
  Слайд 17

  Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

  Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

• 
  Слайд 18
  

  Пусть n=2, , , тогда Пусть n=2, a>0, тогда Пусть n=3, , , , тогда Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,cвыполняется неравенство Доказательство.

• 
  Слайд 19

  Неравенство Коши - Буняковского

  Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

• 
  Слайд 20
  

  Пример 14. Доказать, что для любых a,b,cϵ R справедливо неравенство Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде: Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,cϵ R справедливо неравенство Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.  

• 
  Слайд 21

  Неравенство Бернулли

  Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

• 
  Слайд 22
  

  Пример 16. Доказать,что для любых n ϵ N Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения , получим требуемое неравенство. Пример 17. Доказать,что для любых n ϵ N Доказательство. по теореме Бернулли, что и требовалось.

• 
  Слайд 23
  

  Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.