Презентация на тему "Вневписанная окружность" 9 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Доклад на тему:«Вневписанная окружность»

  Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м класса гимназии № 22 научный руководитель учитель высшей категории Плеснявых Елена Аслановна

• 
  Слайд 2

  Содержание

  Введение. Основная часть Глава 1. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей. § 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника § 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей. § 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности § 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. § 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. § 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. § 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Заключение. Библиография.

• 
  Слайд 3
  

  Глава 1.Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон

  О А В С М N H

• 
  Слайд 4
  

  Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1)

  Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. А В С О К М N

• 
  Слайд 5
  

  Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольникаАВ1 = АС1 = p

  Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать, что АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p. Оа В1 ra ra ra А В С С1 А1 α/2 α/2

• 
  Слайд 6
  

  Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.ra = ptg, rb = ptg, rc = ptg(2)

  Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra) Доказать (2) Решение: В прямоугольном треугольнике А ОаС1 raи p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = ptg . А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra

• 
  Слайд 7
  

  § 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.ra= , rb = , rc = (3)

  Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra) Доказать (3) Решение: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra×(p – a), т.е. ra= А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra

• 
  Слайд 8
  

  Глава 3. § 1Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.ra + rb + rc = r + 4R

  Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r = , R = , ra =, rb =, rc = Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = =4R

• 
  Слайд 9
  

  § 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

  Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

• 
  Слайд 10
  

  § 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.rarb + rbrc + rcra = p2

  Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , ra =, rb =, rc = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

• 
  Слайд 11
  

  § 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е.rarbrc = rp2

  Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra =, rb =, rc = , Тогда

• 
  Слайд 12
  

  Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.

  Доказательство: Из rarbrc= rp2 = rp×p = Sp. Следовательно

• 
  Слайд 13
  

  Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

  Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит

• 
  Слайд 14
  

  § 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , ,

  Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

• 
  Слайд 15

  3. Заключение.

  Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.