Презентация на тему "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

МБОУ «Воронежская кадетская

школа им. А.В. Суворова»

Семьянинова Е. Н.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Цели:

1) обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности;

2) продолжить формирование практических навыков;

3) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Умение решать задачи – практическое искусство,

подобное плаванию или катанию на лыжах, или

игре на фортепиано; научиться этому можно лишь,

подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Д.Пойа.

I. Организационный момент. Объяснение целей урока. ( Слайд 2)

II. Разминка. В мире интересного. (Слайд 3-6)

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение. Например, мороженое «пломбир» получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Используя найденный ответ и данные таблицы, узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Найдите сумму одиннадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен – 5, а шестой равен – 3,5.

Французское слово «безе» в переводе означает поцелуй. Второе из предложенных слов – «молния», является переводом французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

III. Прогрессии в жизни и быту. (Слайд 7)

Задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы. 

Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий - на 2 дм длиннее. Найдите длину семи таких стержней. (Слайд 8)

Ответ: 77дм

В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (Слайд 9)

Ответ: 121

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. (Слайд 10)

Ответ: 18 тонн

Тело падает с башни, высотой 6 м. В первую секунду проходит 2м, за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до земли? (Слайд 11)

Ответ: 4 секунды

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй автомобиль, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? (Слайд 13) Ответ: 2 часа

Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? (Слайд 14)

Ответ: 1900

IV.Немного истории. (Слайд 15-16)

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил внимание Архимед. В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу (Слайд 17):

В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт.

А теперь представьте, что мы не умеем умножать и делить. Необходимо умножить, например, на 128. В таблице над написано -3, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 4. Под 4 читаем 16. Это есть искомое произведение.

Другой пример.

Разделим 64 на . Поступаем аналогично:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

7 128 64 : = 128

Нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Нетрудно сообразить:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. (Слайд 18)

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

Кросснамбер – один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица». При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при составлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль.

В каждую клетку кресточислицы вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). А чтобы не было путаницы, номера заданий обозначаются буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, - только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042).

Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Но таков стиль кросснамберов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой.

По горизонтали:

а) количество нечетных чисел натурального ряда, начиная с 13, сумма которых равна 3213;

в) сумма пяти первых членов геометрической прогрессии, четвертый член которой равен 3, а седьмой равен ;

д) сумма первых шести положительных членов арифметической прогрессии

- 127; -119; …;

е) третий член геометрической прогрессии (bn), у которой первый член равен 5, а знаменатель g равен 10;

ж) сумма -13 + ( -9) + ( -5) + … + 63, если ее слагаемые – последовательные члены арифметической прогрессии.

По вертикали:

А) сумма всех двузначных чисел, кратных девяти;

Б) удвоенный двадцать первый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -5, а разность равна 3;

В) шестой член последовательности, которая задана формулой n-го члена

;

Г) разность арифметической прогрессии, если .

VI. Решение нестандартных задач. (Слайд 21)

Дана геометрическая прогрессия 3; b2; b3;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если

(Слайд 22)

Решение.

b2=3q, b3=3q2, тогда. Решим неравенство.

12q2 + 72q +35 =0

D1= 876

q =

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1

Искомые последовательности: 3; -15; 75;…

3; -12; 48;…

3; -9; 27;…

3; -6; 12;…

3; -3; 3;…

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. (Слайд 23).

Решение.

, в, с – искомые числа. Составим таблицу.

По условию сумма трёх чисел, образующих  геометрическую прогрессию, равна 26, т.е. , , , в=6

Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

Уравнение имеет корни , а уравнение – корни . Определите k и m, если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. (Слайд 24-25)

Решение.

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, имеем:

По теореме Виета

Получаем , , так как последовательность возрастающая.

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k=2, m=32

.

VII.  Домашнее задание.

Решите задачи.

Найдите геометрическую прогрессию, если сумма первых трех членов ее равна 7, а их произведение равно 8.

Разделите число 2912 на 6 частей так, чтобы отношение каждой части к последующей было равно

В арифметической прогрессии составляет и . Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104?

Литература:

Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова С.С. Москва. 2003.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.