Презентация на тему "3. Несобственные интегралы"

Содержание

• 
  Слайд 1

  3. Несобственные интегралы

  3.1. Несобственный интеграл первого рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости Пусть функция f(x) определена на [a,) и интегрируема на любом [a,R]. Символ называется несобственным интегралом первого рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел В противном случае он называется расходящимся. Если f(x) определена и интегрируема на любом [a,b] и существуют интегралы , , то величина + не зависит от выбора c.При выполнении этих условий определяется интеграл где c некоторое число.   1

• 
  Слайд 2
  

  Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы >0M: R,R M: 0 , , то 1) если 0

• 
  Слайд 3
  

  Теорема 2. Если 0 f(x)для всех x, 0 0 , p> 1 , то интеграл сходится. Если f(x)для x, 0 0 , p1 , то интеграл расходится. Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует , (0 1 интеграл сходится, при p 1 интеграл расходится. При k = 0 и p> 1 интеграл сходится, при k = +, p 1 интеграл расходится.   3

• 
  Слайд 4
  

  3.2. Несобственный интеграл второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости Пусть функция f(x) определена на [a,b) и интегрируема на любом [a,b-], не ограничена в окрестности точки b. Символназывается несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, иначе расходящимся. В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точкеb.   4

• 
  Слайд 5
  

  Пусть f(x) определена на [a,c) (c,b] , интегрируема на любых [a,с-] и [c+,b] , не ограничена в окрестности точки c. Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла , . В этом случае полагают В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла с особенностью в точке b,необходимо и достаточно, чтобы >0>0: x,x,b -

• 
  Слайд 6
  

  Теорема 1. Если 0 f(x) g(x) , то сходится  сходится расходится  расходится Следствие 1. Если f(x)0, g(x) 0 и f(x)= O(g(x)), xb, то сходится  сходится расходится  расходится Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f(x) 0, g(x)> 0 , , то 1) если 0

• 
  Слайд 7
  

  Теорема 2. Если c> 0 p 0 p 1 x, x[a,b): f(x), то интеграл расходится. Теорема 3 ( Второй предельный признак сравнения). Если существует, (0

• 
  Слайд 8
  

  3.3. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения. Определение.Несобственный интеграл ()называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (). Критерий Коши абсолютной сходимости – сформулировать самостоятельно. Теорема. Абсолютно сходящийся интеграл сходится. Определение. Несобственный интеграл ()называются условно сходящимся, если () сходится, а интеграл () расходится. Теорема (Признак Абеля-Дирихле). Пусть f и g определены на [a,+). 1) f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную:  K, для Aa,; 2) g(x) монотонна и стремится к 0 при x, тогда сходится. Пример   8

• 
  Слайд 9
  

  3.4. Главное значение несобственного интеграла Пусть f(x) определена и интегрируема на любом [a,b]. Главным значением интеграла по Коши называется величина Теорема. Если существует , то Пусть f(x) определена на [a,c) (c,b] , интегрируема на любых [a,с-] и [c+,b], не ограничена в окрестности точки c. Главным значением интеграла по Коши называется предел Теорема. Если существует , то .   9