Презентация на тему "Линейно-Диофантово уравнение"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Линейно-Диофантово уравнение

    Выполнил: Ученик 9В2 класса Лицея 1511 при НИЯУ МИФИ Рогозин Руслан КОПИЯ .ЕСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ .

• 
  Слайд 2

  Диофант.

  Диофант был последним великим математиком античности . Вместе с тем он был одним из создателей новой алгебры, основывающейся не на геометрии , а на арифметике. О подробностях его жизни практически ничего не известно. Но в  Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года. Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13. На результаты, полученные Диофантом, впоследствии опирались Ферма, Эйлер, Гаусс и др.

• 
  Слайд 3

  Решение уравнений.

   Общее решение Алгоритм Евклида. Алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя  двух целых чисел. Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел определена тем, что каждое  — это остаток от деления предыдущего числа на последующее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть …. Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   a и , b равен   , последнему ненулевому члену этой последовательности.

• 
  Слайд 4
  

  Например НОД(19,12) 19=12+7 12=7+5 7=5+2 5=2*2+1 2=1*2 Нод равен 1 Решим уравнение 19x+12y=1 Используем алгоритм Евклида. Выразим НОД 19 и 12 1=5-2*2=(12-7)-(7-5)*2=(12-(19-12))-((19-12)-5)*2=(12-(19-12))-((19-12)-(12-7))*2= (12-(19-12))-((19-12)-(12-(12-(19-12))))*2=12*2-19-(19-12-(12*2-19))*2= 12*2-19-(19-12-12*2+19)*2=12*2-19-(2*19-3*12)*2=12*8-5*19 Получаем решение этого уравнения X=-5-12n y=8+19n Но решать через алгоритм Евклида довольно сложно и неудобно . Ведь легко можно ошибиться .

• 
  Слайд 5

  Правила при решенииуравнений.

  Если с не делится на НОД(a,b), то уравнение не имеет решений. Если с делится на НОД(a,b) , то прежде всего следует упростить это уравнение , разделив его обе части на (a,b). Чтобы найти решение уравнения при взаимно простых a и b нужно сначала найти решения уравнения , а потом умножить на c. Очевидно , что данная таблица вытекает из алгоритма Евклида . Она ,можно сказать, упрощенная запись.

• 
  Слайд 6

  Примеры решений уравнений.

  Решить : 3x+5y=13 3x+5y=1 НОД(3,5) 5=3+2 3=2+1 2=1*2 НОД равен1 .Все числа- взаимно простые. Решаем уравнение 3x+5y=1 X=2+5n Y=-1-3n Решение начального уравнения x=26+5n y=-13-3n 2.Один из коэффициентов меньше нуля. 11x-8y=3 Все числа взаимно простые. Замена y=-z 11x+8z=3 11x+8z=1 z=-12-11n x=9+8n Используя равенство y=-z получаем x=9+8n y=12+11n

• 
  Слайд 7

  Цепные дроби.

  Обратимся к алгоритму Евклида. Из равенств вытекает следующее: , но значит Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придем к знаменателю . Теперь обыкновенная выглядит следующим образом: ... Из-за громоздкой записи применяют компактную запись Если оборвать дробь на знаменателе ,то ,обращая её в обыкновенную дробь, получи K подходящую дробь . Рассмотрим это на следующем примере: n=5 .Отбросим и обратим в обыкновенную

• 
  Слайд 8
  

  Заметим, что следовательно 7 и -9 являются решением уравнения 40x+31y=1. Числитель и знаменатель k подходящей дроби являются решением линейно-Диофантовых уравнений. Примеры решений уравнений . 19x+12y=1 Значениеkподходящей дроби Получаем решение этого уравнения X=-5-12n y=8+19n

• 
  Слайд 9

  Некоторые методы для решения уравнений.

  1. Уменьшим 90 в 6 раз , получим 63x-100y=15 63*5=315 100*3=300 Получим 2. Разделим 826 на 19 с остатком 826=19*43+9 Перепишем уравнение z=y-43 24x+19z=9 x=36-19t z=-45+24t К подстановкам  

• 
  Слайд 10

  Задачи.

  1. Тринадцать пиратов добыли некоторое количество золотых монет . Они пытались разделить их поровну, но оказалось, что остается 8 штук . Когда они снова стали делить монет , после того как два пирата упали за борт и были съедены акулами, оказалось, что остается 3 монеты. Потом в перестрелке погибли ещё 3 пирата, но , когда 8 пиратов стали делить монеты , оказалось, что остается 5 штук. Сколько было монет? Решение. X-общее количество монет Когда было 13 пиратов : k – количество монет на одного пирата, тогда Когда осталось 11 пиратов : y – количество монет на одного пирата , тогда Приравнивая ,получаем Значение k подходящей дроби :  

• 
  Слайд 11
  

  X= 30*11+3=333 Ответ: минимальное количество 333 штук . 2.Крестьянка несла на базар корзину яиц . Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились . Желая возместить ущерб. Он спросил у крестьянки про количество яиц . Она ответила, что не знает. Но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по6 , то каждый раз оставалось одно яйцо лишним , а когда она их разложила по 7 , лишних не осталось. Сколько было яиц в корзине? Решение.   Решайте !!!

• 
  Слайд 12
  

  Ответ: наименьшее количество 301. 3. Найти все натуральные числа в пределах от 1 до 100000, делящиеся на 73 и оканчивающиеся на 001. Решение. Каждое число имеет вид 73 x при некотором натуральном x, оно может быть представлено в виде 1000y+1 Имеем z=-y  

• 
  Слайд 13
  

  Числа имеют вид : 73x=73*(137+1000t)=10001+73000t Это должно удовлетворять : При t=0 10001 , при t=1 83001 Другие t не удовлетворяют условию, поэтому искомые числа 10001 и 830001. Ответ:10001 и 83001.