Презентация на тему "ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ

  Лекция 4

• 
  Слайд 2

  1. Частная теорема о повторении опытов

  В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие , причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события  в результате серии опытов. Определение: Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события  от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная теорема, Ко второму – общая теорема о повторении опытов.

• 
  Слайд 3
  

  Пример: Производится три независимых выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что при этих трех выстрелах мы получим ровно два попадания. Решение. В - в мишень попадет ровно два снаряда. В= события  несовместны, и независимы  

• 
  Слайд 4
  

  Р(В)=рр(1-р)+р(1-р)р+(1-р)рр Пусть 1-р=q, тогда Р(В)=?

• 
  Слайд 5
  

  Пример Производится  n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появится некоторое событие A; вероятность появления события  в каждом опыте равна p , а вероятность непоявления 1-p . Требуется найти вероятность  того, что событие A в этих n опытах появится ровно  m раз. Решение: -событие А появится в  n опытах ровно m раз. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события  в отдельном опыте. Пусть    появление события  в i-м опыте Очевидно, каждый вариант появления события   (каждый член суммы) должен состоять из m появлений событияA  и n-m непоявлений, т.е. из m событий A  и n-m событий  с различными индексами.  

• 
  Слайд 6
  
• 
  Слайд 7

  частная теорема о повторении опытов

  Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие  A появляется с вероятностью p , то вероятность того, что событие A появится ровно m раз, выражается формулой: Где q=1-p Биномиальное распределение

• 
  Слайд 8

  2. Общая теорема о повторении опытов

  Частная теорема о повторении опытов - вероятность события  во всех опытах одна и та же. Если опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется - общая теорема производится ряд выстрелов в переменных условиях (при изменяющейся дальности), то вероятность попадания может меняться.

• 
  Слайд 9
  

  Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или не появиться некоторое событие А , причем вероятность появления события  в i-м опыте равна , а вероятность непоявления  найти вероятность   того, что в результате  n опытов событие  появится ровно m раз.  

• 
  Слайд 10
  

  -событие А появится в  n опытах ровно m раз. событие А входит  m раз, событие  -  - (n-m) раз. Число таких комбинаций будет , но комбинации между собой будут уже неравновероятны.  

• 
  Слайд 11
  

  Применяя теорему сложения и умножения для независимых событий: искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которых буквы p с разными индексами входят m раз, буквы q с разными индексами  раз n-m. Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения из  букв  и  букв  с разными индексами, применим следующий формальный прием. Составим произведение  биномов:

• 
  Слайд 12
  

  где  – z- произвольный параметр.

• 
  Слайд 13
  

  Найдем в этом произведении биномов коэффициент при . перемножим биномы и приведем подобные члены. Каждый член, содержащий , будет иметь в качестве коэффициента произведение m букв p  с какими-то индексами и n-m букв q , а после приведения подобных членов коэффициент при   будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Следовательно, способ составления этого коэффициента полностью совпадает со способом вычисления вероятности  в задаче о повторении опытов.  

• 
  Слайд 14
  

  Определение: Функция(z) , называется производящей функцией. Теорема (общая терема о повторении опытов) Вероятность того, что событие A в n независимых опытах появится ровно m раз, равна коэффициенту при  в выражении производящей функции: где  --вероятность появления события  в i-м опыте.  

• 
  Слайд 15
  

  Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно =0,1, =0,2, =0,3, =0,4 Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:  

• 
  Слайд 16
  

  Решение:

• 
  Слайд 17

  СРС разобрать решение задач 2-6 с.65-66 (Е.С. Вентцель )