Повторим степени и одночлены
-1,2aa; 5a·3; 3/5ab; -a²; 0,3a·(-b).
1)Назовите одночлены, записанные в стандартном виде
3/5ab; -a²
2)Приведите остальные одночлены к стандартному виду
-1,2aa = -1,2a²
5a·3=15a
0,3a·(-b)=-0,3ab
4)Упростить выражение
(2xy⁵)³ · (-0,5x⁴y) =
8x³y¹⁵·(-0,5x⁴y)= -4x⁷y¹⁶
3)Укажите подобные одночлены
-1,2a² и -a²; 3/5ab и -0,3ab
Слайд 3
Понятие многочлена
Задача.
Катя купила в магазине cкниг по 52 рубля за
штуку и k тетрадей по 11 рублей за штуку. Сколько
денег она заплатила за всю покупку?
Решение.
с книг по 52 рубля стоят 52с рублей; k тетрадей по
11 рублей стоят 11k рублей. Значит, за всю покупку
Катя заплатит 52c +11k рублей.
Ответ:52c+11k рублей.
Слайд 4
Для того, чтобы решить эту задачу, надо найти
значение выражения 52c+11k. Каждое слагаемое
этой суммы является одночленом, а полученная сумма
одночленов в алгебре называется многочленом (многий, многочисленный, полином).
Примеры:
1) 3yx⁷-xy; 2) -0,3a²b + b - ab;
3) -7c³- c² + c + 1; 4) cbc + 2ccb - 2.
Слайд 5
Каждый многочлен может быть записан
в стандартном виде. Для этого , надо ,входящие
в его запись одночлены, представить в стандартном виде и привести подобные
слагаемые.
Например:
cbc+2ccb-2 =c²b+2c²b-2 = 3c²b-2.
Слайд 6
Попробуйте самостоятельно
1.Какие из выражений являются многочленами?
1)3x-1; 2) ; 3) ; 4) -z⁵+zc-2c.
2.Привести к стандартному виду многочлены:
1)3,2hhh-1,3+h²h;
2) -11m³n²+n²m³+11m³n²;
3) 5ck·2c – 3c²k·(-3) + 0,1kc.
Обозначение многочленов
Многочлены принято обозначать буквой pили P
(от греческого слова polys– полином). В обозначение
включают и переменные, входящие в состав
многочлена.
Примеры:
1) p(x) = -3x³ + 3x² - 5; читают «пэот икс»
2) p(c,b) = 5,6cb + c⁴ – 3b; читают «пэ от цэ, бэ».
Попробуйте самостоятельно
1.P(x) = -9x + 2. Найти P(0,4).
2.P(g, t) = 5g⁴ - gt – 2. Найти P(-1; 1).
3.P(a, b, c) = 0,1abc + cb². Найти P(-2, 1, 10).
Слайд 11
Проверьте себя
-1,6;
4;
3. 8.
Посмотреть все слайды
Конспект
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Конспект урока по математике
НА ТЕМУ:
Выполнила: студентка 5 курса группы МДИ-108
физико-математического факультета МордГПИ им. М.Е.Евсевьева
Косырева Татьяна Николаевна
Саранск 2012
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».
Тип урока: изучение нового материала.
Класс: 9.
Цель урока:
- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;
- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;
1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.;
2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 224 с.;
5) Таблица и рисунок «Знаки тригонометрических функций» – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/
План урока:
Орг. момент (2 мин);
Актуализация знаний (5 мин);
Изучение нового материала (22 мин);
Первичное закрепление нового материла (13 мин);
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).
Ход урока:
Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
Актуализация знаний.
Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.
Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.
– что называют синусом острого угла?
Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что называют косинусом острого угла?
Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что такое тангенс острого угла?
Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).
1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.
(ученики самостоятельно решают в тетрадях)
Решение
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
sin A = = = .
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
cos B = = = .
В итоге получается:
sin A = cos B = .
Или:
sin 30º = cos 60º = .
3. Изучение нового материала
Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.
Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)
Запись в тетрадях:
Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что = 0 .
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin = , a cos = .
Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin ордината у точки М, cos это абсцисса х точки М.
Запись на доске и в тетрадях:
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
sin = , a cos = .
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sin = y, cos = x. (1)
Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла к косинусу угла tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла к синусу ctg = .
Итак, синус острого угла равен ординате у точки М, а косинус угла - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. tg = , то tg = , ctg = .
Учитель: если угол прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или = 0 , то синус и косинус угла также определим по формулам (1).
Таким образом, для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 синусом угла называется ордината у точки М, косинусом угла - абсцисса х точки М.
Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180 справедливы неравенства:
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.
Запись в тетрадях:
Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1.
Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.
Запись в тетрадях:
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1
Учитель: так как tg = , то при = 90 тангенс угла не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = не определен при = 0 , = 180 , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg 0 = 0, tg 180 = 0.
ctg 90 = 0.
Запишите это в тетради. (слайд 7)
Запись в тетрадях:
Т.к. tg = , то при = 90 тангенс угла не определен.
tg 0 = 0, tg 180 = 0,
т.к. ctg = , то при = 0 , = 180 катангенс угла не определен
ctg 90 = 0.
Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).
Запись в тетрадях:
Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.
Запись в тетрадях:
Основное тригонометрическое тождество.
Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство
sin2 + cos2 = 1, (4)
Которое выполняется для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)
Запись в тетрадях:
Для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 верно
sin2 + cos2 = 1 - основное тригонометрическое тождество.
Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
Знаки синуса.
Так как sin = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)
Запись в тетрадях:
т.к. sin = ,
I , II ч - sin > 0, III, IV ч - sin < 0
Учитель: знаки косинуса. Так как cos = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.
Запись в тетрадях:
Так как cos =
I , IV ч - cos > 0, II, III ч - cos < 0
Учитель: знаки тангенса и катангенса.
Так как tg = , а ctg = , то знаки tg и ctg зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg > 0 и ctg > 0, если угол является углом 1 или 3 четверти; tg < 0 и ctg < 0, если угол является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
Запись в тетрадях:
tg =
I , III ч - tg > 0, II, IV ч - tg < 0
ctg =
I , III ч - ctg > 0, II, IV ч - ctg < 0.
Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Запись в тетрадях:
Формулы приведения.
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)
Запись в тетрадях:
Формулы для вычисления координат точки.
Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).
Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin = y, cos = x координаты точки М соответственно равны cos и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
Запишите все в тетрадь со слайда.
Запись в тетрадях:
sin = y, cos = x
М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).
По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
4. Закрепление изученного материала
Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.
К доске вызываются ученики.
Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.
Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. sin = y, cos = x, tg =
sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0.
sinАОМ2 = , cosАОМ2 = , tg АОМ2 = .
sinАОМ3 = , cosАОМ3 = , tg АОМ3 = 1.
sinАОМ4 = , cosАОМ4 =, tg АОМ4 = .
sinАОВ = , cosАОВ =, tg АОВ = .
Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1013 (а, б)
Дано: а) cos = .
б) cos = .
Найти: sin
Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.
Запись на доске и в тетрадях:
sin2 + cos2 = 1
a) sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - = 1 - = ;
sin2 =
Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится в 1 ч., то sin > 0,
sin =
б) sin2 = 1 - = 1 - = ;
Ученик: так как угол находится во 2 ч., то sin > 0
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится во 2 ч., то sin > 0,
sin = .
Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1015 (а, в)
Дано: а) cos = 1;
в) sin = и 0 < < 90.
Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.
Запись на доске и в тетрадях:
a) tg = ,
sin2 + cos2 = 1;
sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - = 1 - = 0; sin = 0.
tg = = = 1.
в) sin2 + cos2 = 1;
cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - = 1 - = ;
т.к. 0 < < 90 , cos > 0, cos = .
tg = = 1.
5. Подведение итогов урока и домашнее задание
Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:
Что называется синусом угла?
Ученик: синус острого угла равен ординате у точки.
Учитель: что называется косинусом угла?
Ученик: косинус острого угла равен абсциссе х точки
Учитель: что такое тангенс угла?
Ученик: тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.
Учитель: А что такое катангенс угла?
Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.
Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?
Ученик: sin2 + cos2 = 1 является основным тригонометрическим тождеством.
Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?
Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .
Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?
Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .
Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)
Запись на доске и в тетрадях:
Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)
Учитель: урок окончен. До свидания.
Решение домашней работы.
№ 1014.
Дано: а) sin = ;
б) sin = ;
в) sin = .
Найти: cos .
Решение.
а) Выразим cos из основного тригонометрического тождества sin2 + cos2 = 1.
cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - = 1 - = ;
cos = ± .
б) Аналогично:
cos2 = 1 - = 1 - = ;
cos = ±.
в) cos2 = 1 - 0 = 1
cos = ± 1.
№ 1015(б, г).
Дано: б) cos = - ;
г) sin = и 90 < < 180 .
Найти: tg .
Решение.
б) tg = ,
sin2 + cos2 = 1;
sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - = 1 - = ,
sin = ± .
tg = = = .
г) cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - = 1 - =
т.к. 90 < < 180 , то sin > 0, sin = ,
tg = = = .
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Конспект урока по математике
НА ТЕМУ:
Выполнила: студентка 5 курса группы МДИ-108
физико-математического факультета МордГПИ им. М.Е.Евсевьева
Косырева Татьяна Николаевна
Саранск 2012
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».
Тип урока: изучение нового материала.
Класс: 9.
Цель урока:
- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;
- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;
1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.;
2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 224 с.;
5) Таблица и рисунок «Знаки тригонометрических функций» – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/
План урока:
Орг. момент (2 мин);
Актуализация знаний (5 мин);
Изучение нового материала (22 мин);
Первичное закрепление нового материла (13 мин);
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).
Ход урока:
Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
Актуализация знаний.
Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.
Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.
– что называют синусом острого угла?
Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что называют косинусом острого угла?
Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Учитель: что такое тангенс острого угла?
Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).
1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.
(ученики самостоятельно решают в тетрадях)
Решение
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
sin A = = = .
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
cos B = = = .
В итоге получается:
sin A = cos B = .
Или:
sin 30º = cos 60º = .
3. Изучение нового материала
Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.
Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)
Запись в тетрадях:
Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что = 0 .
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin = , a cos = .
Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin ордината у точки М, cos это абсцисса х точки М.
Запись на доске и в тетрадях:
Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
sin = , a cos = .
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sin = y, cos = x. (1)
Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла к косинусу угла tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла к синусу ctg = .
Итак, синус острого угла равен ординате у точки М, а косинус угла - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. tg = , то tg = , ctg = .
Учитель: если угол прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или = 0 , то синус и косинус угла также определим по формулам (1).
Таким образом, для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 синусом угла называется ордината у точки М, косинусом угла - абсцисса х точки М.
Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180 справедливы неравенства:
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.
Запись в тетрадях:
Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180
0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1.
Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.
Запись в тетрадях:
Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1
Учитель: так как tg = , то при = 90 тангенс угла не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = не определен при = 0 , = 180 , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg 0 = 0, tg 180 = 0.
ctg 90 = 0.
Запишите это в тетради. (слайд 7)
Запись в тетрадях:
Т.к. tg = , то при = 90 тангенс угла не определен.
tg 0 = 0, tg 180 = 0,
т.к. ctg = , то при = 0 , = 180 катангенс угла не определен
ctg 90 = 0.
Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).
Запись в тетрадях:
Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.
Запись в тетрадях:
Основное тригонометрическое тождество.
Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство
sin2 + cos2 = 1, (4)
Которое выполняется для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)
Запись в тетрадях:
Для любого угла из промежутка 0 ≤ ≤ 180 верно
sin2 + cos2 = 1 - основное тригонометрическое тождество.
Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
Знаки синуса.
Так как sin = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)
Запись в тетрадях:
т.к. sin = ,
I , II ч - sin > 0, III, IV ч - sin < 0
Учитель: знаки косинуса. Так как cos = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.
Запись в тетрадях:
Так как cos =
I , IV ч - cos > 0, II, III ч - cos < 0
Учитель: знаки тангенса и катангенса.
Так как tg = , а ctg = , то знаки tg и ctg зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg > 0 и ctg > 0, если угол является углом 1 или 3 четверти; tg < 0 и ctg < 0, если угол является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
Запись в тетрадях:
tg =
I , III ч - tg > 0, II, IV ч - tg < 0
ctg =
I , III ч - ctg > 0, II, IV ч - ctg < 0.
Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Запись в тетрадях:
Формулы приведения.
sin (90 - ) = cos
cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤ ≤ 90,
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos (6) при 0 ≤ ≤ 180 .
Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)
Запись в тетрадях:
Формулы для вычисления координат точки.
Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).
Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin = y, cos = x координаты точки М соответственно равны cos и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
Запишите все в тетрадь со слайда.
Запись в тетрадях:
sin = y, cos = x
М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).
По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому
x = ОА ∙ cos ,
y = OA ∙ sin . (7)
4. Закрепление изученного материала
Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.
К доске вызываются ученики.
Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.
Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.
Запись на доске и в тетрадях:
Т.к. sin = y, cos = x, tg =
sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0.
sinАОМ2 = , cosАОМ2 = , tg АОМ2 = .
sinАОМ3 = , cosАОМ3 = , tg АОМ3 = 1.
sinАОМ4 = , cosАОМ4 =, tg АОМ4 = .
sinАОВ = , cosАОВ =, tg АОВ = .
Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1013 (а, б)
Дано: а) cos = .
б) cos = .
Найти: sin
Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.
Запись на доске и в тетрадях:
sin2 + cos2 = 1
a) sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - = 1 - = ;
sin2 =
Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится в 1 ч., то sin > 0,
sin =
б) sin2 = 1 - = 1 - = ;
Ученик: так как угол находится во 2 ч., то sin > 0
Запись на доске и в тетрадях:
Так как находится во 2 ч., то sin > 0,
sin = .
Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .
К доске вызывается ученик.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 1015 (а, в)
Дано: а) cos = 1;
в) sin = и 0 < < 90.
Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.
Запись на доске и в тетрадях:
a) tg = ,
sin2 + cos2 = 1;
sin2 = 1 - cos2 ;
sin2 = 1 - = 1 - = 0; sin = 0.
tg = = = 1.
в) sin2 + cos2 = 1;
cos2 = 1 - sin2 ;
cos2 = 1 - = 1 - = ;
т.к. 0 < < 90 , cos > 0, cos = .
tg = = 1.
5. Подведение итогов урока и домашнее задание
Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:
Что называется синусом угла?
Ученик: синус острого угла равен ординате у точки.
Учитель: что называется косинусом угла?
Ученик: косинус острого угла равен абсциссе х точки
Учитель: что такое тангенс угла?
Ученик: тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.
Учитель: А что такое катангенс угла?
Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.
Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?
Ученик: sin2 + cos2 = 1 является основным тригонометрическим тождеством.
Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?
Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .
Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?
Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .
Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)
Запись на доске и в тетрадях:
Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)
Учитель: урок окончен. До свидания.
Решение домашней работы.
№ 1014.
Дано: а) sin = ;
б) sin = ;
в) sin = .
Найти: cos .
Решение.
а) Выразим cos из основного тригонометрического тождества sin2 + cos2 = 1.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.