Презентация на тему "Экстремум функции"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  9.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

• 
  Слайд 2
  

  Точка х1называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.

• 
  Слайд 3
  

  max min max

• 
  Слайд 4
  

  На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции. Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:

• 
  Слайд 5
  

  Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум в точке но она в этой точке не дифференцируема.

• 
  Слайд 6
  

  Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала. необходимое условие экстремума:

• 
  Слайд 7
  

  Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической. Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

• 
  Слайд 8
  

  Найти критические точки и экстремумы функций: 1 Примеры

• 
  Слайд 9
  

  Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка

• 
  Слайд 10
  

  min

• 
  Слайд 11
  

  2

• 
  Слайд 12
  

  Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  

  Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума. первое достаточное условие экстремума

• 
  Слайд 15
  

  Доказательство: Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервале а на некотором интервале Тогда функция y=f(x) будет возрастать на

• 
  Слайд 16
  

  и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции -точка максимума. Аналогично доказывается для минимума.

• 
  Слайд 17
  

  1 Найти производную функции 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует. схема исследования функции на экстремум

• 
  Слайд 18
  

  3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.

• 
  Слайд 19
  

  Исследовать функцию на экстремум: Пример

• 
  Слайд 20
  

  Решение: Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции:

• 
  Слайд 21
  

  2 Находим критические точки: критические точки

• 
  Слайд 22
  

  3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: min В точке х=1 экстремума нет.

• 
  Слайд 23
  

  4 Находим экстремум функции:

• 
  Слайд 24
  

  Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х0 есть точка максимума. второе достаточное условие экстремума:

• 
  Слайд 25
  

  Доказательство: Пусть следовательно и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

• 
  Слайд 26
  

  функция будет возрастать на содержащем точку х0. Но на интервале а на интервале

• 
  Слайд 27
  

  Таким образом, функция при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума. Аналогично доказывается случай для максимума функции.

• 
  Слайд 28
  

  Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на: 3 Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

• 
  Слайд 29
  

  Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума. Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума. В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.