Презентация на тему "Глава 9 параграф 54. Случайные события и их вероятности. Часть 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ." 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

  §54. Случайные события и их вероятности 2.ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.

• 
  Слайд 2

  Содержание

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В. ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В. Решение 3а); Решение 3б); Решение 3в); Решение 3г). Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица). ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B). Доказательство теоремы 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми, если P(AB)=P(A) P(B) ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Решение 4а); Решение 4б); Решение 4в); Решение 4г). Для учителя ИСТОЧНИКИ 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

• 
  Слайд 3
  

  ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ

  Часть 2. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

• 
  Слайд 4

  Независимость событий

  В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

• 
  Слайд 5

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В

  Определение 1.Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается АВ или АВ. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

• 
  Слайд 6

  ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В

  Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 

• 
  Слайд 7

  Решение примера 3а)

  Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; Решение: а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство 100

• 
  Слайд 8

  Решение примера 3б)

  Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б)  А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число.    08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

• 
  Слайд 9

  Решение примера 3в)

  Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге {(x; у) | х2 + у2  ≤  1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

• 
  Слайд 10

  Решение примера 3г)

  Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая.    08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

• 
  Слайд 11

  Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств

  Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В. В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

• 
  Слайд 12
  

  Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)

  08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

• 
  Слайд 13

  ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B).

  ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

• 
  Слайд 14

  Доказательство теоремы 1

  Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр.1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А1)+Р(АВ). Аналогично обозначим через В1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А1) + Р(АВ). Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А1)+Р(АВ))+Р(В1)+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)). События А, АВ, В1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

• 
  Слайд 15

  Для несовместных событий А и В

  Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно, несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В). В частности, так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р(Ᾱ)= Р(А + Ᾱ) = 1; Р(Ᾱ) = 1 - Р(А). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

• 
  Слайд 16

  Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В

  При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в виде Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

• 
  Слайд 17

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми…

  Определение 2.События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В). Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла. В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

• 
  Слайд 18
  

  ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

  Теорема 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). Доказательство. По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит, Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В).    • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

• 
  Слайд 19

  ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют

  Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; б)    не будет поражена ни разу; в)    будет поражена хотя бы один раз; г)    будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

• 
  Слайд 20

  Решение примера 4а)

  Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а)    будет поражена дважды; Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы. а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,90,3 = 0,27. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

• 
  Слайд 21

  Решение примера 4б)

  Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена ни разу; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

• 
  Слайд 22

  Решение примера 4в)

  Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: в)    будет поражена хотя бы один раз; Решение:в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

• 
  Слайд 23

  Решение примера 4г)

  Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: г)    будет поражена ровно один раз. Решение: г)    Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 23

• 
  Слайд 24

  Для учителя

  08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 24

• 
  Слайд 25
  

  08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 25

• 
  Слайд 26
  

  08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 26

• 
  Слайд 27

  Источники

  Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MSExcel. Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 27