Презентация на тему "Комплексные числа и работа с ними"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Комплексные числа

• 
  Слайд 2

  Поле комплексных чисел

  Поле действительных чисел (R) не является алгебраически замкнутым полем(т.е. многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней). Пример: Х2+1=0

• 
  Слайд 3
  

  Наша цель – построение расширения поля С, в котором есть такой элемент i, что i2=-1 Построение поля С окажется алгебраически замкнутым(алгебраическим замыканием поля С)

• 
  Слайд 4

  Для С характерно:

  Для a, b, c, d равенство a+bi=c+di выполняется тогда и только тогда, когда a=c, b=d (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)/(с+di)=(a+bi)(c-di)/(c2+d2)

• 
  Слайд 5

  Геометрическая интерпретация

  a b (a,b) Z=a+bi Действительная ось Мнимая ось

• 
  Слайд 6

  Сопряжение

  Число z=a-bi называется сопряжённым числу z=a+bi b -b a a+bi a-bi

• 
  Слайд 7

  Модуль комплексных чисел

  Для комплексного числа z=a+bi определим модуль: |z|= √zz = √a2+b2 0 b a Z=a+bi r=|z|

• 
  Слайд 8

  Тригонометрическая форма

  z=a+bi=r(cosφ+isinφ), r=√a2+b2 cosφ=a/√a2+b2 sinφ=b/√a2+b2 0 x y r rcosφ rsinφ Тригонометрическая форма комплексного числа единственна

• 
  Слайд 9

  Умножение чисел в тригонометрической форме

  Для чисел: z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2) верно: z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)) Следствие: z1/z2=r1/r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2))

• 
  Слайд 10

  Формула Муавра

  (r(cosφ+isinφ))n=rn(cos(nφ)+isin(nφ))

• 
  Слайд 11

  Извлечение корня n-ой степени

  wk=n√r (cos(φ+2πk)/n+isin(φ+2πk)/n)

• 
  Слайд 12
  

  Теорема о разложении многочлена с комплексными коэффициентами в произведении линейных множителей

  Пусть f(x) из C, deg f(x)=n≥1 Тогда: f(x)=a(x-α1)…(x-αn), a,α1,…,αnиз С Такое разложение единственно