Презентация на тему "Комплексные числа" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  www.themegallery.com Решите уравнение: x2 – 6x + 13 = 0

• 
  Слайд 2

  Множества чисел

  R Q Z N С N Z  Q  R  C

• 
  Слайд 3

  Алгебраические операции

  Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √−1

• 
  Слайд 4

  Комплексные числа

• 
  Слайд 5
  

  "Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием". Г. Лейбниц

• 
  Слайд 6
  

  Многовековая история развития представления человека о числах – одна из самых ярких сторон развития человеческой культуры.

• 
  Слайд 7

  Из истории комплексных чисел

  Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано Джероламо Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

• 
  Слайд 8
  

  Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a+b√−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i=√−1 предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius.

• 
  Слайд 9
  

  Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

• 
  Слайд 10

  Понятие комплексного числа

  Комплексное число z = (a; b)записывают какz = a + bi. i2 = −1,i– мнимая единица. Число Re zназывается действительной частью числа z, а число Im z –мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно:a = Re z, b = Im z. Определение: Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа,i – мнимая единица, называются комплексными.

• 
  Слайд 11
  

  Пример. Решите уравнение: x2 – 6x + 13 = 0 Решение. Найдем дискриминант по формуле D = b2 – 4ac. Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16; Корни уравнения находим по формулам

• 
  Слайд 12
  

  www.themegallery.com Решите уравнения: x2 – 4x + 13 = 0.  9x2 + 12x + 29 = 0.

• 
  Слайд 13
  

  www.themegallery.com Взаимопроверка Ответы: 1) 2)  

• 
  Слайд 14

  Действия над комплексными числами

  Сравнение a + bi = c + diозначает, что a = cи b = d(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Умножение (a + bi)  (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc+ad)i Деление a + bi c + di ac+bd c2 + d2 =+ i bc−ad c2 + d2

• 
  Слайд 15

  Сопряженные числа

  Числа z =a + biиz = a – bi называются сопряженными

• 
  Слайд 16

  Прокомментировать:

  (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i; (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i; (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bidi = bdi2 = −bd Например:  5i•3i = 15i2 = − 15; Работа в группах

• 
  Слайд 17
  

  (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i; (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1. (3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13. − 2i•3i = − 6i2 = 6.   www.themegallery.com

• 
  Слайд 18

  Примеры

  Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2 Деление комплексного числа a + biна комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. a + bi c + di ac+bd c2 + d2 = = + i bc−ad c2 + d2 (a + bi)(c−di) (c + di)(c−di)

• 
  Слайд 19

  Прокомментируйте

  www.themegallery.com

• 
  Слайд 20

  Вычислите:

  www.themegallery.com

• 
  Слайд 21
  

  «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин.

• 
  Слайд 22
  

  www.themegallery.com Спасибо за урок!