Презентация на тему "Предел числовой последовательности"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. an= 1, 3, 5, 7, 9, 11… аn– общий член последовательности

• 
  Слайд 2
  

  Назовем числовой последовательностью числовую функцию, заданную на множестве натуральных чисел: Значение n будем называть номером члена , а само число – общим членом или n–м членом последовательности.

• 
  Слайд 3
  

  Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6… Продолжите ряд 77, 49, 36, 18… Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей.

• 
  Слайд 4
  

  Назовем постоянной последовательность, если она равна константе для любого номера n:

• 
  Слайд 5
  

  Назовем последовательность ограниченной, если найдется такое число M, для которого модуль любого члена последовательности окажется не больше этого числа: Квантор , читается «для любого».

• 
  Слайд 6
  

  Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число, для которого все члены последовательности по модулю окажутся не больше этого числа. Используемый квантор читается «существует»,

• 
  Слайд 7
  

  Последовательность называется возрастающей, если: Последовательность возрастает, если каждый последующий член не меньше предыдущего. Последовательность монотонная, если она возрастающая или убывающая.

• 
  Слайд 8
  

  Рукава многих галактик расположены в соответствии с этой последовательностью. Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

• 
  Слайд 9
  

  В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против, другая по часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13.

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  

  Когда потоки воды двигаются по океану и волны прилива подходят к берегу, они изгибаются в форме спирали, которая может быть математически отражена на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.

• 
  Слайд 12
  

  Ветви, листья деревьев, ракушки, морские звезды, ушная раковина человека, тюльпаны и другие цветы, и особенно раковины моллюсков - сформированы по той же самой схеме. С каждым приростом раковина добавляет себе ещё один сегмент в соответствии с масштабом Фибоначчи.    

• 
  Слайд 13
  

  Паук плетет паутину спиралеобразно по тому же принципу. Спиралью закручивается ураган...

• 
  Слайд 14
  

  Ячейки ананаса расположены в 8 правосторонних, 13 левосторонних, 21 вертикальных спиралей.

• 
  Слайд 15
  

  Семена подсолнуха располагаются в двух пересекающихся спиралях с количеством соцветий 34 и 55 или 55 и 89 согласно последовательности Фибоначчи.

• 
  Слайд 16
  

  Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы

• 
  Слайд 17
  

  Леонардо Пизанский или Фибоначчи Схемы, по которыми сформированы лепестки, листья и семена цветов, соответствуют определённым числам.

• 
  Слайд 18
  

  Леонардо Фибоначчи (родился около 1170 — умер после 1228), итальянский математик.

• 
  Слайд 19
  

  Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

• 
  Слайд 20
  

  При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда  будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… . Божественная пропорция. Оказывается что число ФИ -Строительный камень, который господь Бог использовал для создания Мира.

• 
  Слайд 21
  

  Блез Паскаль (1623 – 1662 ). Французский математика XVII

• 
  Слайд 22
  

  Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:

• 
  Слайд 23
  

  Треугольник Паскаля.

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25
  
• 
  Слайд 26
  

  Треугольник Паскаля.

• 
  Слайд 27
  

  Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим числами Фибоначчи : для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1; для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3; для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8; для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….

• 
  Слайд 28
  

  Функция у = 4-2n График последовательности состоит из отдельных точек.

• 
  Слайд 29
  

  Функция

• 
  Слайд 30
  

  Функция 1 2 3 4 y1 y2 y3 y4 y5 Y

• 
  Слайд 31
  

  Функция 0,5 0,8 1 y1 y2 y3 y4 y5 Y

• 
  Слайд 32
  

  Функция

• 
  Слайд 33
  

  Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся, в обратном случае последовательность расходится.

• 
  Слайд 34
  
• 
  Слайд 35
  

  Число называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a|

• 
  Слайд 36
  

  Геометрически понятие предела числовой последовательности.

• 
  Слайд 37
  

  Неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

• 
  Слайд 38
  

  Постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

• 
  Слайд 39
  

  Последовательность сходится, если она имеет предел. Доказать, что предел такой последовательности равен 1:

• 
  Слайд 40
  

  Воспользуемся определением предела. По виду последовательности можно сказать, что с ростом номера n общий член последовательности хn приближается к единице, а разность |хn– 1| приближается к нулю.

• 
  Слайд 41
  

  Покажем это строго. Для произвольного числа ε > 0 в выберем Если номер n > N, тогда и это означает, что Далее:

• 
  Слайд 42
  

  Тем самым, для произвольного числа ε > 0 мы указали такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство Мы доказали, что единица есть предел рассматриваемой последовательности.

• 
  Слайд 43
  

  Теорема о единственности предела последовательности: Последовательность не может иметь больше одного предела.

• 
  Слайд 44
  

  Это следует из того, что последовательность не может одновременно приближаться к двум разным числам одновременно. Формально, выберем ε значительно меньше разницы между числами aи b. Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N, начиная с которого одновременно будут выполнены два условия:

• 
  Слайд 45
  

  Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, тосходится и их сумма {an + bn} и, кроме того, предел суммы равен суммепределов:

• 
  Слайд 46
  

  Теорема: Постоянную величину можно выносить за знак предела:

• 
  Слайд 47
  

  Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, то сходится и их произведение {an⋅ bn} и, кроме того, предел произведения равен произведению пределов:

• 
  Слайд 48
  

  Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, причем Предел отношения равен отношению пределов.

• 
  Слайд 49
  

  Теорема: Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится. Пример такой последовательности, которая ограничена, возрастает и потому имеет предел Признак существования предела.

• 
  Слайд 50
  

  Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

• 
  Слайд 51
  

  Теорема о двух милиционерах Теорема (признак существования предела): Если одна последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел. Название теоремы связано с такой ее интерпретацией. Если два милиционера ведут с двух сторон под руки подвыпившего гражданина и направляются в отделение, туда же придет и гражданин.

• 
  Слайд 52
  

  Дана последовательность Доказать, что

• 
  Слайд 53
  
• 
  Слайд 54
  

  Ссылки на материалы из интернета: http://bmcapital.blog.ru/?page=5 http://forexaw.com/TERMs/Theory_of_market/l725_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8_Fibonacci http://sceptic-ratio.narod.ru/rep/kn15.htm http://geana.hiblogger.net/tag/%F2%E2%EE%F0%E5%F6/ http://www.skilpadde.ru/25-chisla-fibonachchi.html http://blog.i.ua/user/1577787/226447/ http://best-mama.info/publ/pochemuchka/biolog/34 http://kinder-online.ru/blog/lady-gaga-ili-njusha/page/2/ http://klen20078.ya.ru/replies.xml?item_no=3858 http://www.vlad-amelin.ru/stihi-o-zhizni/2256-zhizn-yeto-cep-sluchajnyx-chisel.html http://www.liveinternet.ru/users/daemaken/