Презентация на тему "Решение квадратных уравнений с параметром в 9 классе"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение квадратных уравнений содержащих параметры в 9 классе.

• 
  Слайд 2
  

  При решении задач с параметрами приходится всё время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.

• 
  Слайд 3
  

  Для квадратного уравнения a выделяем три случая: 1. Если D= -4ac

• 
  Слайд 4
  

  1. Важную роль при решении задач с параметром для квадратных уравнений играет теорема Виета. Для квадратного уравнения a, а- корни уравнения (случай D≥0), выполнено равенство a)(х - ). Отсюда вывод теоремы Виета: + = - = .  

• 
  Слайд 5
  

  2. Второе важное замечание состоит в том, что при решении задач, сводящихся к исследованию квадратных уравнений, нужно помнить о геометрической интерпретации квадратного уравнения a, где (;) – координаты вершины параболы. При а>0 ветви параболы направлены вверх, причем абсцисса вершины параболы является точкой минимума. При а

• 
  Слайд 6
  

  Пример 1. ( ЕГЭ, 2005, ). При каких значениях а функция у = имеет максимум при х = 4? Решение. Исходную функцию представим в виде у = . Поскольку 2>1, то данная функция монотонно возрастает и максимум данная функция достигает в той точке, что и у квадратичной функции f(x) = - + ax + 7.У этой параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т.е. в точке = . Согласно условию = 4, следовательно a = 8.Ответ: а = 8.  

• 
  Слайд 7
  

  Пример 2. Решите уравнение (а – 1)+2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0. Решение. По виду это уравнение представляется квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент перед обращается в нуль и уравнение становится линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются по разным алгоритмам. Итак нам надо рассмотреть два случая: а = 1 и а ≠ 1.  

• 
  Слайд 8
  

  Пусть а =1, тогда уравнение принимает вид: 0·Решив это уравнение , получаем: х = - . Частичный ответ: если а = 1, то х = - .  

• 
  Слайд 9
  

  Пусть а ≠ 1. Мы имеем квадратное уравнение (а – 1)+2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0. Найдем его дискриминант: D =( - Итак, D = . Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если D0, то уравнение имеет два корня. Дискриминант обращается в нуль при а = - , положителен при а > - , отрицателен при а

• 
  Слайд 10
  

  Пусть а - (но, напомним а ≠ 1). В этом случае дискриминант больше нуля и квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле корней квадратного уравнения: = Частичный ответ: при а> - (а≠1) =  

• 
  Слайд 11
  

  Осталось рассмотреть случай, когда а = - . Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем == - . Частичный ответ: при а = - , х = - . Ответ: если а =1, то х = - если а = - , то х =- если а> - (а≠1), то = если а

• 
  Слайд 12
  

  Пример 3. При каких значениях параметра а корни уравнения - Решение. Если а = 0, то уравнение примет вид 2х – 2 = 0. Корень этого уравнениябудет х = -1. Этот корень удовлетворяет условию x

• 
  Слайд 13
  

  Если а ≠0, то заданное уравнение является квадратным. График функции у=f(x), где f(x)=-2x-3a-2 является парабола с ветвями вверх, если 2а>0, и ветвями вниз, если 2а0) или на рис. 2 (для 2а

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15
  

  Дадим аналитическое описание геометрической модели, представленной на рис.1. Во-первых, напомним, при 2а>0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью Ох ( в крайнем случае касается её), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит дискриминант не отрицателен. В-третьих, в точке х=1 имеем f(1)>0. В четвертых,

• 
  Слайд 16
  

  Итак получаем систему неравенств – аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис.1.  

• 
  Слайд 17
  

  Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему неравенств – аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 2:  

• 
  Слайд 18
  

  Решим первую систему неравенств. Найдем дискриминант. D=4-4·2а·(-3а-2)=24+16a+4. Найдем f(1). f(1)=2a·-2·1-3a-2=-a-4. Найдем =. Так как , получаем: a Таким образом, первая система неравенств имеет следующий вид:  

• 
  Слайд 19
  

  Эта система не имеет решений, поскольку из первого её неравенства получаем а>0, а из третьего получаем а

• 
  Слайд 20
  

  Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант (D= - 4·4240, а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем: Решением данной системы является -4

• 
  Слайд 21
  

  Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а: а=0; -4

• 
  Слайд 22
  

  Пример 4. Какие значения может принимать сумма квадратов действительных, различных корней уравнения +2ax+2- 2 – 12=0? Решение. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант больше нуля. Решим неравенство D>0. -4-2-12)>0, получаем а(-3;4). По теореме Виета += -2a; ·=2-a-12. Следовательно, += (-2= 2a+24. Т.к. aОтвет:  

• 
  Слайд 23
  

  Вывод: основой для усвоения материала является здравый смысл ученика, а не только и не столько его предварительные знания. Спасибо за внимание.