Презентация на тему "Метод Гаусса."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Метод Гаусса.

  Лекция №5

• 
  Слайд 2
  

  Пусть задана система из уравнений с неизвестными:       Составим для нее расширенную матрицу, отделив столбец правых частей вертикальной чертой: Каждая строка расширенной матрицы является образом одного уравнения : элементы изображают коэффициенты при неизвестных;   элементизображает вертикальная черта изображает   знак равенства. правую часть уравнения;

• 
  Слайд 3
  

  Вспомним элементарные преобразования, не изменяющие решение системы. Для расширенной матрицы системы Р допустимы: перестановка любых двух строк; перестановка любых двух столбцов, КРОМЕ СТОЛБЦА ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ (СТОЛБЕЦ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ПЕРЕСТАВЛЯТЬ НЕЛЬЗЯ); умножение элементов любой строки на число; сложение любых двух строк.   Преобразования коэффициентов при неизвестных и правых частей системы удобно выполнять в матричной форме. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований. Вычисления проводятся в два этапа, называемых ПРЯМЫМ и ОБРАТНЫМХОДОМ. ЗАМЕЧАНИЕ: рекомендуется нумеровать столбцы или проставлять под столбцами соответствующие неизвестные:          

• 
  Слайд 4

  Прямой ход

    Приведем расширенную матрицу системы Р к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : Возможны две ситуации: I) среди чиселесть хотя бы одно, не равное нулю, например:   II)все числа равны нулю:                

• 
  Слайд 5
  

  Если среди чиселесть хотя бы одно, не равное нулю, например: , то это означает, что в системе есть уравнение:     которое не имеет решений. Если сравнить ранги матриц, то rang, а rang ; по теореме Кронекера-Капелли   Решение закончено, обратный ход метода Гаусса не нужен. система несовместна. Какой ответ следует дать ?                

• 
  Слайд 6
  

    II)Если все числа равны нулю: ,   и система уравнений совместна. это значит, что rang   Выделим базисный минор и отбросим нулевые строки:                               Останется укороченная система из уравнений.  

• 
  Слайд 7

  Обратный ход

  возможны два случая: Случай 1 Число неизвестных равно рангу системы :   Случай 2 Число неизвестных больше ранга системы :       Почему невозможен случай   ?                 В укороченной системе из уравнений  

• 
  Слайд 8

  Случай 1

    то есть матрица системы стала треугольной : Если вернуться к уравнениям, то получим Решая последовательно уравнения системы снизу вверх, каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное. Набор значений определяется однозначно, то есть система имеет ЕДИНСТВЕННОЕ решение.   Число неизвестных равно рангу системы :       (называется определенной)        

• 
  Слайд 9

  Случай 2

  В базисный минор вошли коэффициенты при неизвестных   назовем их БАЗИСНЫМИ. Неизвестные,не вошедшие в базисный минор, назовем СВОБОДНЫМИ.   ВОПРОС: сколько свободных неизвестных? ОТВЕТ: свободных неизвестных   Число неизвестных больше ранга системы :                     БАЗИСНЫЕ СВОБОДНЫЕ

• 
  Слайд 10
  

    Придадим свободным переменным любые значения и подставим их в уравнения: Перейдем от матричной формы записи к уравнениям:                 БАЗИСНЫЕ СВОБОДНЫЕ БАЗИСНЫЕ СВОБОДНЫЕ …  

• 
  Слайд 11
  

  Выразим базисные переменные через свободные. Для этого перенесем в правую часть уравнений слагаемые со свободными переменными (изменив знак на противоположный!!!): Придавая свободным переменным другие значения, получим другие значения базисных. Система будет иметь БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО решений.   БАЗИСНЫЕ СВОБОДНЫЕ   Вычислим базисные переменные(как в случае 1), решая последовательно уравнения системы снизу вверх. (называется неопределенной)

• 
  Слайд 12

  Пример 1

    Решить систему уравнений методом Гаусса: РЕШЕНИЕ:                                       Прямой ход                           несовместна. ОТВЕТ : нет решений. I)     система  

• 
  Слайд 13

  Пример 2

  Решить систему уравнений методом Гаусса: РЕШЕНИЕ:   Прямой ход                                       rang   rang       Система совместна, случай 1.              

• 
  Слайд 14

  Обратный ход

              ОТВЕТ:           Дома сделать проверку.

• 
  Слайд 15

  Пример 3

  Решить систему уравнений методом Гаусса: РЕШЕНИЕ:     Прямой ход                       rang   rang   Система совместна, случай 2.              

• 
  Слайд 16
  

          БАЗИСНЫЕ СВОБОДНАЯ                 ОТВЕТ: Обратный ход Дома сделать проверку.