Презентация на тему "Метод математической индукции"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Метод математической индукции

  Элементы математической логики Теория множеств

• 
  Слайд 2

  Индукция

  Inductio(лат) - наведение Вид умозаключений, при котором на основании анализа частных суждений о принадлежности признака некоторым отдельным элементам множества делается вывод о принадлежности этого признака всему множеству

• 
  Слайд 3

  Аксиомы Пеано

  1. Для каждого натурального числа а существует одно и только одно следующее за ним число а’ 2. Единица является натуральным числом, причём она не следует ни за каким натуральным числом

• 
  Слайд 4
  

  3. Ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами. 4. Если множество А содержит единицу и вместе с каждым числом а содержит следующее за ним число а’, то А содержит все натуральные числа.

• 
  Слайд 5

  Метод математической индукции

  1.База индукции Утверждение проверяется для некоторого начального элемента, например n=1 Даёт возможность определить нижнюю границу применения формулы или действия неравенства.

• 
  Слайд 6
  

  2. Гипотеза индукции Формулируется гипотеза о том, что утверждение справедливо для некоторого kN Шаг к обобщению, который формулируется в виде гипотезы. Это индуктивная фаза: от одного частного случая перешли к обобщению.

• 
  Слайд 7
  

  3. Шаг индукции Доказывается, что если из справедливости утверждения для произвольного n=kNследует, что оно справедливо для n=k+1, то данное утверждение справедливо и для любого натурального числа n Фаза доказательства. Устанавливаем, насколько сильны индуктивные выводы.

• 
  Слайд 8

  Пример

  Доказать, что nN справедливо равенство

• 
  Слайд 9

  1. База индукции

  Проверим равенство при n=1 Следовательно, формула верна

• 
  Слайд 10

  2. Гипотеза индукции

  Допустим, что равенство верно при некотором n=kN

• 
  Слайд 11

  3. Шаг индукции

  Докажем, что если гипотеза верна, то равенство верно при некотором n=k+1, то есть

• 
  Слайд 12
  

  Гипотеза

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  

  Получили верное равенство. Формула справедлива для n=k+1 при условии её выполнимости при n=k.  она справедлива nN

• 
  Слайд 15

  Пример

  Доказать, что nN 62n-1 кратно 35

• 
  Слайд 16

  1. База индукции

  Проверим справедливость утверждения при n=1 62 - 1 = 36 -1 = 35 35 делится без остатка на 35 Следовательно, утверждение верно.

• 
  Слайд 17

  2. Гипотеза индукции

  Пусть при n=k утверждениесправедливо 62k – 1 делится без остатка на 35

• 
  Слайд 18

  3. Шаг индукции

  Докажем справедливость утверждения при n=k+1 62(k+1)– 1 делится без остатка на 35 62(k+1)– 1 = 62k+2– 1= = 62k×62 – 1 =36×62k– 1

• 
  Слайд 19
  

  36×62k – 1 = = 36×62k – 1 +36 – 36 = = 36×62k – 36 + 35 = = 36 (62k – 1) + 35

• 
  Слайд 20
  

  36 (62k – 1) + 35 Гипотеза Делится на 35 Делится на 35 Делится на 35