Презентация на тему "Безусловная оптимизация методом классического математического анализа"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  1 Модуль 1. Семинар 1. Безусловная оптимизация методом классического математического анализа Определение оптимального времени пребывания в непрерывном реакторе с мешалкой

• 
  Слайд 2
  

  2 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Задача 1 Рассчитать оптимальное время проведения химической реакции в аппарате идеального смешения, приняв в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P. Схема реакции: Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы скоростей равны:

• 
  Слайд 3
  

  3 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Материальный баланс по компонентам A и P: Решение

• 
  Слайд 4
  

  4 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ При делении уравнений на расход реагента v получаем: где - среднее время пребывания реагентов в реакторе

• 
  Слайд 5
  

  5 Выход продукта P выражается: Необходимое условие существования экстремума: ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

• 
  Слайд 6
  

  6 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Поскольку и

• 
  Слайд 7
  

  7 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Условие экстремума будет иметь вид: Откуда:

• 
  Слайд 8
  

  8 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

• 
  Слайд 9
  

  9 Модуль 1. Семинар 2. Безусловная оптимизация методом классического математического анализа. Определение оптимальной температуры в непрерывном реакторе с мешалкой

• 
  Слайд 10
  

  10 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Задача 2 Рассчитать оптимальную температуру проведения обратимой двухкомпонентной реакции в реакторе с мешалкой, использовав в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P. Схема реакции: Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы равны:

• 
  Слайд 11
  

  11 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Значения энергий активации стадий реакции: Время пребывания в реакторе: Задача 3

• 
  Слайд 12
  

  12 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Материальный баланс по компонентам А и P для реактора идеального перемешивания: Решение

• 
  Слайд 13
  

  13 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Из системы уравнений материального баланса определяется выражение для выхода компонента P: где - среднее время пребывания реагентов в реакторе

• 
  Слайд 14
  

  14 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Необходимое условие существования экстремума:

• 
  Слайд 15
  

  15 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Приравнивая числитель последнего выражения к нулю, получаем:

• 
  Слайд 16
  

  16 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Учитывая, что: Получаем:

• 
  Слайд 17
  

  17 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Из последнего выражения следует: или

• 
  Слайд 18
  

  18 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Логарифмирование последнего выражения даёт:

• 
  Слайд 19
  

  19 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Подставляя численные значения параметров, получаем:

• 
  Слайд 20
  

  20 Модуль 1. Семинар 3. Безусловная оптимизация методом классического математического анализа. Определение оптимального времени протекания процесса в периодическом реакторе с мешалкой

• 
  Слайд 21
  

  21 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Задача 3 Рассчитать оптимальное время проведения реакции в периодическом реакторе с мешалкой, использовав в качестве критерия оптимальности выход целевого продукта P. Схема реакции: Порядок обеих стадий реакции – первый. Константы скоростей равны:

• 
  Слайд 22
  

  22 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Материальный баланс по компонентам A и P для периодического реактора: Решение Начальные условия:

• 
  Слайд 23
  

  23 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Первое уравнение системы – с разделяющимися переменными:

• 
  Слайд 24
  

  24 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ При интегрировании получаем:

• 
  Слайд 25
  

  25 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Откуда следует:

• 
  Слайд 26
  

  26 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Полученное соотношение подставляется во второе уравнение системы:

• 
  Слайд 27
  

  27 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ При делении обеих частей полученного выражения на получаем дифференциальное уравнение относительно выхода : С начальными условиями:

• 
  Слайд 28
  

  28 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Решение полученного дифференциального уравнения стандартными методами даёт:

• 
  Слайд 29
  

  29 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Необходимое условие существования экстремума:

• 
  Слайд 30
  

  30 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Поскольку , получаем:

• 
  Слайд 31
  

  31 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Логарифмирование последнего выражения даёт:

• 
  Слайд 32
  

  Подставляя в выражение для , получаем максимально возможный выход целевого продукта P для реактора периодического действия: 32 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

• 
  Слайд 33
  

  33 Модуль 1. Семинар 4. Безусловная оптимизация методом классического математического анализа. Определение оптимального расхода хладагента в теплообменнике смешение-смешение

• 
  Слайд 34
  

  34 ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ Задача 4 Рассчитать оптимальный расход хладагента в теплообменнике смешение-смешение и определить площадь поверхности теплопередачи при следующих параметрах процесса: Горячий теплоноситель – расход 6 кг/вр; теплоемкость 4190 Дж/кг*С; температура на входе и на выходе потока 112.5С и 85.7С Холодный поток – диапазон изменения расхода 1 – 10 кг/вр; теплоемкость 3000 Дж/кг*С; температура на входе потока 20С Коэффициент теплопередачи 500 Вт/м2*С В качестве критерия оптимальности использовать приведенные затраты на процесс, определяемые по формуле

• 
  Слайд 35
  

  35 Поверочно-оценочный расчет Математическое описание Необходимо определить Т = ? и Тх= ?

• 
  Слайд 36
  

  36 Математическое описание преобразуется и записывается с учетом общего теплового баланса Необходимо определить: = ?Vx = ? Для решения задачи оптимизации необходим конструкционный расчет

• 
  Слайд 37
  

  37 второе уравнение СЛАУ решается относительно Tx Решение методом подстановки:

• 
  Слайд 38
  

  38 затем выражение для Txподставляется в первое уравнение СЛАУ, которое решается относительно FT:

• 
  Слайд 39
  

  39

• 
  Слайд 40
  

  40 Производя преобразования в знаменателе последнего выражения и вынося за скобки получим:

• 
  Слайд 41
  

  41 Обозначим Тогда условием физической реализуемости данного теплообменника будет:

• 
  Слайд 42
  

  42 Система двух уравнений в конструкционном расчете решалась относительно Txи FT. Это означает, что температура T на выходе из теплообменника и, соответственно, тепловая нагрузкаQ при определении Txи FT известны и заданы.

• 
  Слайд 43
  

  43 Оптимизация теплообменника типа смешение-смешение А) Критерий оптимальности - экономический Cx – стоимость единицы расхода хладагента [руб/ед. массы] (в случае задания массового расхода) CF- стоимость единицы площади поверхности теплообменника, исчисляемая с учетом амортизации теплообменника [руб/(м2∙ед. времени)] В) Таким образом, ресурсами оптимизации – оптимизирующими переменными – являются vxи FT

• 
  Слайд 44
  

  44 Однако, из предыдущих выводов следует, что Поэтому достаточно воспользоваться необходимым условием функции одной переменной:

• 
  Слайд 45
  

  45 Необходимое условие экстремума имеет вид:

• 
  Слайд 46
  

  46 так как где

• 
  Слайд 47
  

  47 При подстановке полученной производной в необходимое условие существования экстремума R получается:

• 
  Слайд 48
  

  48 или

• 
  Слайд 49
  

  49 Отсюда можно определить:

• 
  Слайд 50
  

  50 или

• 
  Слайд 51
  

  51 В результате получаются два корня квадратного уравнения:

• 
  Слайд 52
  

  52 Учитывая то обстоятельство, что оптимальное значение может быть в тех точках, где производная целевой функции R не существует, что соответствует обращению в ноль знаменателя dFT/dvx, можно записать третье возможное решение:

• 
  Слайд 53
  

  53 Для каждого из этих решений необходимо проверить достаточное условие существования экстремума. Данное достаточное условие целесообразно проверять, исходя из физического смысла решаемой задачи, т.е. физической реализуемости теплообменника – исходя из выражения:

• 
  Слайд 54
  

  54 Отсюда следует, что должно выполняться неравенство:

• 
  Слайд 55
  

  55 При этих условиях производная dFT/dvx является монотонно возрастающей функцией, и достаточное условие существования экстремума выполняется. Из трех возможных решений только vx2удовлетворяет последнему неравенству.

• 
  Слайд 56
  

  56 Поэтому т.е.

• 
  Слайд 57
  

  57 После подстановки выражения для оптимального значения vx в выражение для FT(vx) получается:

• 
  Слайд 58
  

  58 Значение Rmin определяется по формуле: