Презентация на тему "Числовые ряды Миронюк"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Числовые ряды

  Вып.: ст. ХК ГУТ гр. СО-11 Миронюк Сергей

• 
  Слайд 2
  

  - Определение числового ряда - Сумма ряда - Примеры числовых рядов - Определение частичной суммы - Сходящиеся и расходящиеся ряды - Признак Даламбера, исследование на сходимость Содержание

• 
  Слайд 3
  

  Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1,u2,u3,un, …, и с понятием бесконечных рядовu1+ u2 + u3 + … + un + … числа u1, u2 , u3, … – члены ряда. Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы , рассмотримчастичные суммы данного ряда. s1 = u1– первая частичная сумма, s2 = u1 + u2 –вторая частичная сумма, s3 =u1 + u2 + u3– третья и т.д. Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un- частичная суммаряда. Определение числового ряда

• 
  Слайд 4
  

  u1, u2, u3, …, un, … s1, s2, s3, …, sn, … , где s1 = u1, s2 = u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, …………………………… sn = u 1+ u2 + u3 + … + un, …………………………… При частичная сумма имеет предел Сумма ряда

• 
  Слайд 5

  Сходящиеся и расходящиеся ряды

  Ряд называетсясходящимся,если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел Этот предел называетсясуммойсходящегося ряда. Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называетсярасходящимся.

• 
  Слайд 6
  

  Пример 1 Выражение 1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1 + … является рядом. Составим частичные суммы s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 =1 – 1 + 1 = 1, …, Примеры числовых рядов

• 
  Слайд 7
  

  Пример 2 Выражение является рядом. Из членов составляют частичные суммы Примеры числовых рядов

• 
  Слайд 8
  

  Пример 3 Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … , имеет бесконечный предел. Примеры сходящихся и расходящихся рядов

• 
  Слайд 9
  

  Пример 4 Ряд 1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм не имеет никакого предела. Примеры сходящихся и расходящихся рядов

• 
  Слайд 10
  

  Поэтому Исследование на сходимость.

• 
  Слайд 11
  

  Ряд u1 + u2 + … + un + … может сходится, когда общий член ряда unстремится к нулю: Необходимое условие сходимости ряда

• 
  Слайд 12
  

  Пример 5 Ряд 0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю. Пример 6 Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости ряда

• 
  Слайд 13
  

  Сумма ряда Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству: |q|

• 
  Слайд 14

  Признак Даламбера

  Если члены положительного ряда а1+а2+ …+ аn+… таковы, что существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

• 
  Слайд 15

  Применение признака Даламбера

  Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1. 2. Решение: воспользуемся признаком Даламбера: ряд сходится.

• 
  Слайд 16
  

  Решение второго примера: т.к. , то ряд расходится.

• 
  Слайд 17

  Краткая историческая справка

  Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.