Презентация на тему "Числовые ряды"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Числовые ряды

  Выполнила: студентка заочного отделения группы 141 у Журавлева В.

• 
  Слайд 2
  

  Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2, …un, соединенных знаком сложения. Числа u1, u2, …unназываются членами ряда. Член un называется общим или n – ным членом ряда.

• 
  Слайд 3

  Можно найти сумму некоторого числа членов ряда:

  Поскольку число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют числовую последовательность:

• 
  Слайд 4
  

  Числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм; Числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм; Числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов. Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

• 
  Слайд 5
  

  Ряд вида называется геометрическим Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии. Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда

• 
  Слайд 6
  

  Ряд вида называется гармоническим. Ряд вида называется обобщенным гармоническим.

• 
  Слайд 7
  

  Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся. Если p1имеем геометрический ряд, в котором |q|1и расходится при p

• 
  Слайд 8

  Радиус и область сходимости степенного ряда

  Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится , если |x|R . Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений х, при которых данный ряд сходится. Согласно теореме Абеля, если степенной ряд сходится при значении х = х0 ≠ 0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях |x| |x1|. Отсюда: если ряд сходится при |x|

• 
  Слайд 9
  

  Следовательно существует такое число R≥0, что при |x| R ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R,R) - интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимость ряда однозначно неопределена. Т.е. при x = -R и x = R, ряд может сходиться или расходиться.

• 
  Слайд 10

  Свойства степенных рядов

  Если на отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), функция f(x) является непрерывной, то степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке в интервале сходимости степенной ряд можно также почленно дифференцировать.

• 
  Слайд 11

  Ряд Маклонера

  Ряд Маклорена – это частный случай ряда Тейлора в окрестности точки x=0 Условие разложения функции в ряд Маклорена: если функция f(x) дифференцируема в окрестностях точки x0 любое число раз и в некоторой окрестности этой точки lim ⁡Rn(x)=0.

• 
  Слайд 12

  Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

• 
  Слайд 13

  Пример:

  Найти ряд Маклорена для функции Решение Воспользуемся тригонометрическим равенством Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид то можно записать Отсюда следует:

• 
  Слайд 14

  Спасибо за внимание!