Презентация на тему "Геометрические приложения двойного интеграла"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Геометрические приложения двойного интеграла

  Лекция 8

• 
  Слайд 2

  Примеры

  Пример 1. Вычислить где D – трапеция с вершинами А(1;1), В(5;1), С(10;2), D(2;2).

• 
  Слайд 3

  Решение

  Имеем =

• 
  Слайд 4

  Примеры

  Пример 2. Вычислить где D – треугольник с вершинами О(0;0), А(1;1) и В(0;1).

• 
  Слайд 5

  Решение

  Получаем = =

• 
  Слайд 6

  Примеры

  Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

• 
  Слайд 7

  Двойной интеграл в полярных координатах

  Элемент площади в полярных координатах вычисляют так: =

• 
  Слайд 8

  Замена переменных

  = Выражение = называется двумерным элементом площади в полярных координатах.

• 
  Слайд 9
  

  Для того чтобы в двойном интеграле перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y положить равными и соответственно, а вместо элемента площади подставить его выражение в полярных координатах.

• 
  Слайд 10

  Вычисление

  В полярных координатах двойной интеграл всегда вычисляют в таком порядке:

• 
  Слайд 11

  Площадь плоской фигуры

  Площадь плоской фигуры в декартовых координатах вычисляют по формуле:

• 
  Слайд 12

  Площадь в полярных координатах

  Если фигура ограничена кривыми, заданными в полярных координатах, или ее уравнение содержит двучлен

• 
  Слайд 13

  Вычислить площадь

  Фигура ограничена кривыми х+у=2 и

• 
  Слайд 14
  

  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Перейдем к полярным координатам и изобразим фигуру.

• 
  Слайд 15
  

  Y=x 0 4 x y

• 
  Слайд 16

  Решение

  Площадь области D вычислим в полярных координатах

• 
  Слайд 17

  Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

  Пусть тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху соответственно поверхностями

• 
  Слайд 18

  Формула для вычисления объема

  Тогда объем тела равен разности объемов цилиндроидов и вычисляется по формуле:

• 
  Слайд 19
  

  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x+z=4, z=0, , .

• 
  Слайд 20
  
• 
  Слайд 21

  Вычислить объем тела

  Запишем объем в виде двойного интеграла:

• 
  Слайд 22
  

  Найти объем тела, ограниченного цилиндром радиуса1, плоскостью Оxy и конусом

  Запишем объем Вычислим его в полярных координатах