Презентация на тему "Геометрические решения тригонометрических задач" 8 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Шишкина Елена Павловна, учитель математики МБОУ г.Мурманска гимназии №2

• 
  Слайд 2
  

  «АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ – ЭТО ЗАПИСАННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ, А ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ – ЭТО НАРИСОВАННЫЕ ФОРМУЛЫ.» Д. ГИЛБЕРТ

• 
  Слайд 3
  

  Задание №1: В А С D E 2 1 150 150 Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔАВС (АВ=ВС), ∠АВС=300. AD и ВЕ – высоты. ∠САD=150. ПустьAD=1, тогда АВ=2 и Значит, Ответ: Вычислите Решение:

• 
  Слайд 4
  

  А С В 1 1 D 450 Задание №2: Вычислите Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔАВС (АВ=ВС), ∠АВС=450. Так как ∠ВСА=67030’, то ∠CAD=22030’. ПустьAD=1, Ответ: Решение:

• 
  Слайд 5
  

  Задание №3: Докажите тождество А В D С x x 2x 3x x 2x Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔАВС (АВ=ВС), точку D (D∈BCи AD=BD=AC). Доказательство: Пусть ∠АВС=х, тогда ∠BAD=x, ∠ADC=2x, ∠ACD=2x ∠DAC=x, ∠ADB=3x. Суммы внутренних углов треугольников ABD, ACD и АВС равны по 5х, т.е. х=360. Итак, ∠АВС=360 и ∠ADC=720. Так как D∈BC, то ВС=BD+DC. Пусть BD=1, тогда АВ=2cos360и CD=2cos720. Так как АВ=ВС, то 2cos360=1+2cos720. Значит,

• 
  Слайд 6
  

  Задание №4: Докажите тождество А В D С x 2x 2x 5x x 3x Так как треугольники ABD, ADCи ABC равнобедренные, то 7х=1800, т.е. Доказательство: 2. BC = BD + DC.

• 
  Слайд 7
  

  Пусть длина общей высоты, проведенной из вершины А в треугольниках ABD, ADC и ABC, равна 1 (H∈BC, AH⊥BC, AH=1), то: из ΔABH (AH⊥BH) из ΔADH (AH⊥DH) Значит, из ΔAСH (AH⊥СH)

• 
  Слайд 8
  

  Задание №5: Вычислите А В С D Решение: В задаче 3 были определены величины углов с вершинами в точках A, B, Cи D. ΔАВС~ΔCAD, так как оба они равнобедренные с общим углом при основаниях (∠АСВ=∠ACD). Значит, Если АС=а и АВ=b(a

• 
  Слайд 9
  

  Задание №6: Вычислите В А С D E 1 100 Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВС, в котором ∠АВС=100, ∠АСВ=900, D∈BC, E∈AB и AD=DE=BE. Пусть АС=1. Определив величины углов, замечаем: ВС= ctg100, BD=4cos100, CD=tg600. Так как ВС=BD+DC, то ctg100=4cos100+tg600. Ответ:

• 
  Слайд 10
  

  В А С D E 1 α Задание №7: α α Докажите, что sin2α=2 sinα cosα Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔАВС (АВ=ВС=1), ∠АВС=2α, AD и ВЕ – высоты. По рисунку AD=sin2α, AE=EC=sinα, BE=cosα. Так как ΔABE ~ΔCAD, то Доказательство: Значит, sin2α=2 sinαcosα. 

• 
  Слайд 11
  

  В С D E 1 α α α  Доказательство: Докажите, что 1 – cos2α = 2 sin2α AE=EC=sin α, BD=cos 2α, CD = 1-cos 2α ΔABE ~ΔCAD Тогда, , т.е. Значит, 1 – cos2α = 2 sin2α

• 
  Слайд 12
  

  Задание №8: А С В c h a α β Докажите, что sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ Доказательство: Рассмотрим ΔАВС, в котором BD⊥AC, ∠ABD=α,∠CBD=β. Точка D – внутренняя точка отрезка АС, так как по условию αи β – острые углы. Пусть ВС=а, АС=b, АВ=с и BD=h. D

• 
  Слайд 13
  

  Задание №9: Каким должен быть острый угол х, если x A C B D  Рассмотрим рисунок  Решение: по теореме косинусов, а АВ=4 по теореме Пифагора. Значит,D∈AB.

• 
  Слайд 14
  

   x A C B D Так как ΔАВС прямоугольный и По теореме косинусов из ΔACD следует, что где буквой у обозначена длина стороны AD. Ответ: 600. то в ΔACD ∠ADC=900. Тогда x=600.

• 
  Слайд 15
  

  Задание №10: Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. B C M A N arctg 3 = ∠BAM, arctg 2 = ∠CAN, arctg 1 = ∠BAC (∠BAC – острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС). Решение: Итак,arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = π.

• 
  Слайд 16
  

  Задание №11: Решение: Вычислите A В С D Ответ:

• 
  Слайд 17
  

  Задание №12: Решение: Вычислите cos(arcctg3+arctg0,5). B C M A N D ctg ∠DAB=3 и tg ∠DAC=0,5. ΔАВС – равнобедренный, ∠АВС=900. Значит, Ответ:

• 
  Слайд 18
  

  Задание №13: Решение: Вычислите B C M A N D Так как то можно считать, что - это угол прямоугольного треугольника, у которого отношение катетов равно 1 : 2. Тогда величину этого угла можно рассматривать как arctg 2. Аналогично рассуждая, получим Далее, по рисунку ∠МАВ=arctg3 и ∠NAC=arctg2, а их сумма равна Итак,

• 
  Слайд 19
  

  «Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству». Ж.Л. Лагранж