Презентация на тему "Иррациональные числа. Определение, история, свойства"

Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Презентация для школьников на тему "Иррациональные числа. Определение, история, свойства" по математике. pptCloud.ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

Содержание

  • Слайд 1

     

    Работу выполнил ученик: Куликов Дмитрий 10 а класс МОУСОШ №1 Город Михайловск Свердловская область

  • Слайд 2

     

    Иррациональные числа-общие сведения(3-7 ) Число «Пи»(8-24) Число «е»(25-35) Содержание

  • Слайд 3

    Определение

    Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби m/n , где m — целое число, n — натуральное число. Множество иррациональных чисел(I) обычно обозначается таким образом: I=R/Q — множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел. http://gorinalw.3dn.ru/sprav/8klasse-algebra/Koll-sistematika.doc

  • Слайд 4

    История

    Иррациональные числа были неявным образом восприняты индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашел это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы.

  • Слайд 5

     

    Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о ее существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом: Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных. По теореме Пифагора: a^2 = 2b^2. Так как a^2 четное, a должно быть четным (так квадрат нечетного числа был бы нечетным). Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным. Так как a четное, обозначим a = 2y. Тогда a^2 = 4y^2 = 2b^2. b^2 = 2y^2, следовательно b^2 четное, тогда и b четно. Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие. Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьезную проблему, разрушив предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы, лежавшее в основе всей теории.

  • Слайд 6

     

    Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. Позже ЕвдоксКнидский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объемы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова).

  • Слайд 7

    Свойства

    Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями. Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа. Каждое трансцендентное число является иррациональным. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число. Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории

  • Слайд 8

     

    http://image.newsru.com/pict/id/large/494379_1039170217.gif

  • Слайд 9

    Число «пи»

    -это одно из множества представителей иррациональных чисел «пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи». http://www.sensator.ru/images/0000/c/o/content/photo/2007/1/1169734700.26545_5326911.jpg

  • Слайд 10

    Трансцендентность

    π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кенигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет. http://moikompas.ru/img/compas/2008-07-05/irrational_number_pi/29424127.jpg

  • Слайд 11

    Соотношения

    Известно много формул числа π: Франсуа Виет, 1593: Формула Валлиса: Ряд Лейбница:

  • Слайд 12

     

    Тождество Эйлера: Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса» Интегральный синус:

  • Слайд 13

    История

    Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров. http://www.horoshienovosti.com.ua/images/slon/21_11.jpg

  • Слайд 14

     

    Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку . http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg/200px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg

  • Слайд 15

     

    Около 265 года н. э. математик ЛюХуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ.) с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/Liu_Hui.jpg

  • Слайд 16

     

    Позднее ЛюХуэй придумал быстрый метод вычисления π и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4. http://thenews.kz/static/news/b/c/bcpIUb4T.jpg

  • Слайд 17

    Нерешённые проблемы

    Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми. Неизвестно, являются ли числа π + e, π − e, πe, π / e, πe, ππ трансцендентными. До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

  • Слайд 18

    История вычисления

    В 1997 году Дэйвид Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ (англ.) быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

  • Слайд 19

    Мнемонические правила

    Чтобы нам не ошибаться,Надо правильно прочесть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.Надо только постаратьсяИ запомнить всё как есть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, два, шесть, пять, три, пять.Чтоб наукой заниматься,Это каждый должен знать.Можно просто постаратьсяИ почаще повторять:«Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, двадцать шесть и пять». Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учёта знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи: Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъзнаетъ!Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали. http://im5-tub.yandex.net/i?id=11258320-03

  • Слайд 20

     

    Если соблюдать стихотворный размер, можно довольно быстро запомнить: Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пятьВосемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шестьДва шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль дваВосемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

  • Слайд 21

    Дополнительные факты

    Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159. Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле http://img11.nnm.ru/c/f/d/2/5/97d0bdb2780f8e951969da99b1c_prev.jpg

  • Слайд 22

     

    Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. PiApproximationDay), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π. http://uchitel56.rusedu.net/gallery/1409/chislo_Pi.jpg

  • Слайд 23

    А вам слабо?

    17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста. С установлением нового рекорда Андрея Слюсарчука официально поздравил президент Украины Виктор Андреевич Ющенко. Поскольку устное перечисление 30 млн цифр π со скоростью одна цифра в секунду заняло бы почти год (347 дней) при непрерывном перечислении 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, то был применён следующий подход для проверки рекорда: во время демонстраций Слюсарчука просят назвать произвольно выбранные проверяющими последовательности цифр числа Пи, расположенные на произвольно выбранных местах произвольных страниц 20-томной распечатки, группированной в упорядоченные таблицы. Он многократно успешно проходит этот тест.

  • Слайд 24

     

    Хочешь понастоящему развить память? Запомни и расскажи хотя бы до второго кольца!!! Удачи!!!   http://s41.radikal.ru/i094/0811/7d/5ba48b5a68fc.jpg

  • Слайд 25

     

    ЧИСЛО «Е»

  • Слайд 26

    Число «е»

    -это еще одно число из множества представителей иррациональных чисел e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значениe е= 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… http://www.expert.ru/images/russian_reporter/2008/19/rep_49_064_1.jpg

  • Слайд 27

    Способы определения

    Число e может быть определено несколькими способами. Через предел: Как сумма ряда: Как единственное число a, для которого выполняется Как единственное положительное число a, для которого верно

  • Слайд 28

    Свойства

    Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа. http://image.newsru.com/pict/id/large/1107811_1224161687.gif

  • Слайд 29

     

    Число e трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

  • Слайд 30

     

    Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом: то есть

  • Слайд 31

     

    Представление Каталана: http://ru.wikipedia.org/wiki/Каталан,_Евгений-Шарль

  • Слайд 32

    История

    Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен Константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

  • Слайд 33

    Мнемоника

    Мнемо́ника (греч. τα μνημονιχα — искусство запоминания), мнемоте́хника — совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций (связей). Замена абстрактных объектов и фактов на понятия и представления, имеющие визуальное, аудиальное или кинестетическое представление, связывание объектов с уже имеющейся информацией в памяти различных типов для упрощения запоминания. Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака) Два и семь, восемнадцать, Двадцать восемь, восемнадцать, Двадцать восемь, сорок пять, Девяносто, сорок пять.

  • Слайд 34

     

    Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой» Числа 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»

  • Слайд 35

    Интересные факты

    В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

  • Слайд 36

     

    http://ru.wikipedia.org/wiki/Иррациональные_числа http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_пи http://ru.wikipedia.org/wiki/E_(число) Портреты с 9-го, 10-го слайда, в порядке их расположения: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Francois_Viete.jpeg/200px-Francois_Viete.jpeg http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg/180px-John_Wallis_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/200px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/219px-Leonhard_Euler_2.jpg

Посмотреть все слайды
Презентация будет доступна через 45 секунд