Презентация на тему "теорема Менелая" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема Менелая.

• 
  Слайд 2

  Задачи:

  Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему.

• 
  Слайд 3

  Введение

  В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая.

• 
  Слайд 4

  Биография ученого

  Менела́йАлександри́йский— древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является «Сферика» в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике.

• 
  Слайд 5
  

  Труд «Сферика» стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.

• 
  Слайд 6
  

  Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a1:b1=b2b3:a2a3, в которой буквы a1, a2 и а3 и, соответственно, буквы b1, b2 и b3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а1 находится к b1 в таком же сложном отношении, в каком находятся b2 к а2 и b3 к a3.

• 
  Слайд 7

  ТеоремаМенелая

  Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны ACтреугольника ABCвзяты соответственно точки C1, A1, B1. Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

• 
  Слайд 8
  

  Доказательство. Предположим, что точки A1,B1, C1принадлежат одной прямой a.Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через Dточку её пересечения с AB. Из подобия треугольников ADCи AC1B1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDCиBC1A1 следует выполнимость равенства: Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.

• 
  Слайд 9

  Теорема Менелая

  Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BCи продолжении стороны ACтреугольника ABC взяты соответственно точки С1, А1, В1, для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A1B1пересекает прямую AB в некоторой точке С`. По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C`и C1 и, значит, точки A1, B1, C1принадлежат одной прямой.

• 
  Слайд 10

  ТеоремаМенелая

  Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z, то      

• 
  Слайд 11
  

  Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторо­ну АВ в точке F. Найдитеотношение . Задачи на теорему Менелая

• 
  Слайд 12
  

  Решение. По условию задачи МА = AC, NC =3BN. Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая: Ответ: 2 : 3.

• 
  Слайд 13
  

  В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.

• 
  Слайд 14
  

  1 способ. Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.

• 
  Слайд 15
  

  Задача 2. Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

• 
  Слайд 16
  

  Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = 3т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ: 3:2.

• 
  Слайд 17
  

  Задача3. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении р, а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS : SN.

• 
  Слайд 18
  

  Решение. если MD = b, то AM = pb; если NC = a, то ND = aq. Пусть В1 – точка пересечения прямых ВМ и CD. ~ , тогда Прямая ВВ1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая: Откуда Ответ:

• 
  Слайд 19
  

  Задача 4. В треугольнике АВС точки Ки L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S= 1. Найдите площадь треугольника АВС.

• 
  Слайд 20
  

  Решение.1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая: (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая: (2) то есть MC = 4.p, AM = p. 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .

• 
  Слайд 21
  

  4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высо­ты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ: 1,75.

• 
  Слайд 22
  

  Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S

• 
  Слайд 23
  

  Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О

• 
  Слайд 24
  

  Задача 6. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите

• 
  Слайд 25
  

  Решение. По условию NQ=LR , Пусть NA = LR = а, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая: Ответ: n : m.

• 
  Слайд 26
  

  Задача 7. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А1 и С1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1 Найдите АР: РА1.

• 
  Слайд 27
  

  Решение. Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из од­ной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА1, прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая: Ответ: 70 : 9.

• 
  Слайд 28
  

  Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BQ : QB1

• 
  Слайд 29
  

  Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С1В =х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х) + (12 – х) = 9, х = 8. Значит, С1В = 8, АС1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB1 прямая CC1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая:

• 
  Слайд 30
  

  Ответ: 162 : 35.

• 
  Слайд 31
  

  Задача 9. Точки P и Q расположены на стороне ВСтреугольника АВСтак, что BP : PQ : QC = 1:2:3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC =1:2.Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T - точки пересечения прямойВR с прямыми АQ и АP соответственно.

• 
  Слайд 32
  

  Решение. Обозначим BP = x, AR = y; тогда PQ = 2x, QC = 3x, RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ, а значит, и от площади треугольника ABC. Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая: Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR, получим: Далее:

• 
  Слайд 33
  

  C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC, получим, что Ответ: .

• 
  Слайд 34
  

  Задача 10. В треугольнике АВС длина высоты ВD равна 6, длина медианы СE равна 5, расстояние от точки пересечения ВD с СE до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.

• 
  Слайд 35
  

  Решение. Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE. Расстояние от точки О до середины AC(равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая: Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD, получим, что откуда OE = 2CO, и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем,что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .

• 
  Слайд 36

  Дополнительные задачи

  В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4.

• 
  Слайд 37
  

  Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС - в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР

• 
  Слайд 38

  Заключение

  Теорема Менелая проста в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий. Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

• 
  Слайд 39

  Списоклитературы

  1.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002 2. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть I. 3. Володурин В.С. и др. Пособие по элементарной геометрии. Учебное пособие для студентов физико-математи­ческих специальностей педвузов. — Оренбург, 1991. 4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996. 5. Б .Орач .Теорема Менелая. Квант № 3, 1991.

• 
  Слайд 40
  

  Спасибо за внимание!